Page 186 - 1975_matematika-izium

Далее, если целы е числа Xt, Х , • • • , Xs удовлетворяют
2
у rавнению xi + X� + . . . + .х; = 6, то либо (s - 6) из
юlХ равны О, а остальные 6 равны + 1 ; либо s - 3 из IIИХ
р авны О, два из НИХ совпадают с + 1 , а оставщееся х,
р авно +2. ПОЭТОМУ
б
�
6 С
rs (3) = 4 s + 8sCs- 1 =
4
= "45 s (s - 1 ) (s - 2� (s - 3) (s - 4) (s-5) + 4 s (s- l ) ( s - 2 ).
Таким образом,
2
fs (2) = s - l ; fs (3) = з (S - I) (S - 2 );
2
fs (6) = 4"5 (s - 1 ) (s - 2) (s - 3)(s - 4) (s - 5) +
+ 2 (s - 1 ) (s - 2).
После ПрОСТЫХ выкладок мы придем к выражению
Н 2
fs (6) - fs (2 .. (3) = 4"5 s (s - l ) ( s - 2) (s - 4) (s - 8),

которое отлично от О при s =1= О, 1 , 2, 3, 4, 8.
[По Б е й т м э н, А. М. М., 76, 1 9 0 (February 1 9 69).]
277. Обозначив количество таких наборов через Аn
и положив Ао = 1 , мы ПО"lУЧИМ для n � 1 :
n
А n = L A k - I ' An-k . * ( 1 )
k=1
00
n
Е сли f (х) = L Аn х , то из формулы ( 1 ) следует, что
n='J
{ ( х) = 1 + Х · {f (x)} 2, ( ( О) = 1 , так что
\
)
f (х = \ - -V 2х - 4 х • (2)
Разлагая правую часть равенства (2) в степенной ряд и
приравнив а я коэффициенты при одинаковых степенях х,
мы получим для n � О:
(2nl)
\
А = n + I СП 2n = n\ (n + 1 )1 •
n
[М. Б ё м е р , А . М . М., 76, 1 9 3 (February 1969) .]
\ 8 9