Page 188 - 1975_matematika-izium

280. Полагая Xk = k!Y k, мы получим
1
Yk - Yk-I = - k (Yk-I - Y -�), k � 4. ( 1 )
k
используя ( 1 ) при k = 4, 5, . . . , т, м ы получим
(- 1 ) т
!lт - Ут-I = ---тг- ' т � 4. ( 2 )
Суммируя равенства (2) при т = 4, 5, . . . , n, м ы при·
дем. наконец, к ответу
n
� ( - l ) ffl
Хn = n / � -----тr .
m ==2
Заметим, что последнее равенство справедливо также JI
П Г Ш n = 2, з.
[А. Б е й г е р , А . М. М., 76, 302 (March 1 9 69) .]
281 . Выберем такое простое число р, чтобы 2/р <
"< miП (Хi+l - х i) . В силу такого выбора в каждом И l
отрезков [Х;, Xi+I] содержится п о крайней мере два чис.ла
Вllда k/p. Обозначим любые два таких последователь­
IJыx числа через k/p и (k + 1 ) / р. Поскольку k/p =
= kp/rfl < (kp + 1 ) / р2 < (kp + р)/р2 = ( k + 1 ) /р, а kp + I
и rfl - взаимно просты, число (kp + I ) / р2 представляе г
собой несократимую дробь, расположенную между дан­
ными двумя чис а м и k/p и (k + 1 )/р. Поскольку т = р2_
л
з
составное число, наше утверждение дока а но.
a
[э. Л е н г ф о р д , А . М. М., 76, З06 (M r ch 1 9 69) Р
282. Если f ( x) = ах2 + Ьх + с при всех -00 < Х <
< + 00 и а =1= О, то
" ' n
L ( _ 1 ) ml = L {а ( х, + X' + I ) + ь} (- о' =
1==0 { i='J
= О при нечетном n,
2ахо + Ь при четном n.
Поскольку 2ахо + Ь = f' (Хо) , в качестве РО достаточно
взять ТОЧI<У
( ь 4ас - Ь2 )
Ро = - 2а ' •
4а
I Условие и решеиие этой задачи получили flОIIУЮ формули­
ровку, не затроиувшую сути рассуждения. - При,и. перев.
191