Page 192 - 1975_matematika-izium

t/ I 1сла не могут все равняться нулю, так как в ПРОтивном
сл чае мы получили бы противоречивое соотНошение
у
1 = а! = а = . . . = а n = О.
2
[сли среди данных чисел только одно отлично ОТ нуля,
'1'0 справедливы следующие равенства:
l = at = . . . = ар ar+ l = . . = а n = О .
.
I
лn + лn- + . . . + лn-Г = О ,
I
,
л + лr - + . . . + 1 = 0,
лr + 1 = 1.

[сли два таКIIХ числа отличны от нуля, то, поделив их
друг на друга, мы получим, что при некотором целом
s � 1 , ')} > О; откуда л· = 1 .
[Х. Ф л е н Д е р с, А . М. М., 76, 561 (Мау 1 9 69) .)
_
289. В силу заданных условий х (х - [х) = [х)2, от­
куда х = [х) (1 + -V"Б) ! 2, I x l � I [ х] l и х � О.
Далее, [х) + 1 � [ x] (1 + -V"Б) ! 2 и [x]�2 !(-V5 - 1 ) < 2.
Следовательно, [х) = О или 1 , а х = О или (1 + .у5)!2.
[Д. С и л в е р м э н, М. М., 43, 56 (Jапuагу 1 9 70) .)
290. Для доказате.lJЬства Достаточно замеТIIТЬ, что
+
2 5 + 1 + 5n 2 = 2 (27 + 5)n + 5n (27 - 2) = 27k.
n
[А. С а т к л и ф ф , М. М., 43, 56 (Jапuагу 1 9 70.» )
291 . Мы можем считать без ограничения общности,
что k равно наименьшему целому числу, при котором
к
х2 + у2 = 3", причем из условия задачи выте а е т, что
k > О. Тогда х2 + у2 делится на 3, откуда следует, что х
11 У должны делиться на 3. Значит, х = 3т, у = 3а и
2
(3m) + (3n)2 = 3/1. Но тогда т2 + n2 = 3"-2, что проти­
воречит МИНlIмальности числа k.
[Э. Д ж а с т , Н. Ш а у м б е р г е р , М. М., 43, 56 (JППШIГУ
1 9 70) .]
292. 1 . Пусть R - р а диус описанной окруЖНости. То­
гда сторона а = 2R siп А и т. д., а данное неравенство
пр"мет DИД
(а + Ь + с) R'l � аЬс. ( l)
195