Page 195 - 1975_matematika-izium

если In х/х < l п у/у; ХУ = ух В том и только в том случае,
если lп х/х = lп у/у; наконец, хУ > ух В том и только
в том случае, если lп х/х > lп у/у. Таким образом, для
того чтобы ответить на все вопросы данной задачи, мы
должны исследовать при всех положительных х поведе­
ние функции g ( x) = lп х/х. Далее, g'(x) = ( 1 - l n x ) / x 2
и g"(x) = (-3 + 2 1 п х )/хЗ•
Следовательно, g (х) отрицательна прп 0 < х < 1 ,
строго возрастает при О < х � е, достигает своего мак­
сималыlOГО значения, равного I / e, в точке е и строго убы­
вает при х � е. Кроме того, g ( 1 ) = о и при неограничен­
ном возрастании х график g (х) аСIlмптотически приб.'1И­
жается к оси х. З н ачит, уравнение ух = ХУ имеет только
тривиальное решение у = х лишь при 0 < х � 1 и х = е.
Далее, при 1 < х, но х =1= е исходное уравнение имеет
ровно одно нетривиальное решение у. Рассмотрим это у.
При 1 < х < е мы получаем у > е; если же х > е, то
1 < у < е. Значит, вероятность, о I<ОТОРОЙ идет речь в
пункте « в », р а нна пулю, ПОСIЮJIЬКУ нетрипиалыюе реше­
ние для О < х < е существует только при 1 < х < е,
а в этом случае у превышает е.
[А. А . ТJ е н, М. А1., 43, 51 (January 1 9 70) .]
Л
295. Докажем более общее неравенство. Возьмем про­
извольные вещественные числа · Ti, Xi, i = 1 , 2, . . . , 11.
Тогда
n
L x,, [cos ( T k - T/)J xJ =
", /=1
n
= L х,. {cos Т k cos Tj + sin Т k sin Т/} х/ =
", j=1
,,
= { i: х,. cos Т } 2 + { i: х" sin Т k }2 > О.
"=I "=1
[Дж . У и л к и н с мл., М. М., 43, 53 (January 1 9 70) .]
296. 1. Мы докажем более сильное утверждение: все
ромбы, «вписанные» n две взаимно перпеНДlшулярные
пары параллельных прямых, подобны.
Заметим сначала, что диагонали всех таких ромбов
пересекаются в ТОЧI<е О - центре прямоугольника, обра­
зованного данными парами прямых. П у сть ABCD ­
ромб, вершины которого служат серединами сторон этого
198