Page 200 - 1975_matematika-izium

ЭНТIIbIМИ. Этот результат можно обобщить на случай n
треугольнНlЮВ *.
rM. г о л Д б е р г, М. М., 43, 169 (March 1 9 70) .]
302. Рассмотрим частичную сумму нашего ряда:
2 11 ( 2 4 2n )
S = \ ( - 1 )1+ 1 1 � п = I П Т 3 5 " ' zn=! 2n + I .

' З
211
L i
i=1 "2 ' 4 " ' �
Обозначив через О"2n выражение, стоящее в круглых
Сlюбках под знаком .rюг р и фма, мы получим
а
(2· 4 · 6 . . . 2n)2
=
0"21' [ 1 . . 5 . . (2n - 1)]2 (211 + 1)
.
3
= (2·4· 6 . . . 2n)2 (211 + 1 ) = [ (2n + I)1 ] n I
(2"11,)2 2 , (2 + ) '
[1 · 3 · 5 .. . (2n+ I ) J2
Используя формулу Стирлинга, находим
11 ��� 2(2n зt+ 2)] ( n + = � .
2
=
1 )
[
��� 0"1
так что Iim S2n = Iп � в силу непрерывности лога риф-
n-+'" 2n+ 2
v
мическои функции . ПОСКОJ1 ЬКУ S 21, + 1 = S2n + 1 п 2n + I '
�
мы получаем, что и Iim S2n+ 1 = Iп . Таким образом,
n-+оо
u
данныи ряд условно сходится к 1 П 3t .
"2
[Дж. Б р а у н, М. М., 43, 1 7 0 (March 1 9 70) .]
303. Легко показать, что в прямоугольнике любые три
ТОЧКИ ограничивают треугольник, площадь которого не
превосходит половины площади данного прямоугольника.
(Мы можем, если потребуется, сначала сжать наш пря­
моугольНlШ так, чтобы данный треугольник оказался в
него вписанным. З а тем можно разбить получившиися
прямоугольник на меньшие прямоугольники так, чтобы
наш треУГОJJЬНИК покрывал не больше половины каждого
из этих маленьких прямоугольников.)
Далее, разделим наш единичный квадрат н а четыре
равных меньших квадратика. ПО крайнеil мере в одном
из таких квадратиков (включая границу) должно ока-
203