Page 201 - 1975_matematika-izium

эаться н е м е нее 3 наших точек. Требуемы!. результат те·
перь немедленно следует из сказанного выше.
Обобщение: среди 2pq + 1 точек единичного квадрата
есть по крайней мере 3 точки, определяющие треуголь­
ник, площадь которого не превосходит 1/ (2pq) . Действи­
телыIO, р а зобьеl\l наш квадрат на pq конгруЭНТНЫХ пря­
МОУГО.'Iьников С помощью Р - 1 горизонтальной и q - 1
вертикальной прямой. Далее примеНIIМ утверждение пер­
вого абзаца.
[Б. Ш в а р ц , М. М., 43, 1 7 0 (March 1 9 70) .]
304. При любых вещественных а п � фУЮЩИЯ

f ( ) С% :-а ) C� af-X)
х =
а
a + �
выпукла, симметрична относительно точки Ха =
2
и, таким образом, возрастает, ногда х удаляется от точки
a + �*
Ха=-- • Если МЫ положим а = О, а � = Р, то нужное
2
неравенство запишется в виде f ( P ) ::::;;; f ( P + 1 ) , откуда
в силу вышесказанного его справед.'швость становится
очевидной.
[Д. Д й I{ и н, М. М., 43, 235 (Мау 1 9 70) .]
е
А
305. Обозначив tg , t В и t С соответственно че­
g
g
рез а, Ь, с и применив формулу для тангенса разности,
мы придем к соотношению
а - Ь + Ь - с + с - а
I + аЬ I + Ьс I + са = о .
После элементарных п р еобразований получим равенство
(а - Ь) (Ь - с) (с - а) = О,
из IЮТОРОГО И следует равнобедренность IIСХОДНОГО тре4
угольника. Отметим, что мы нигде не воспользовались
тем условием, что А + В + С = З't.
[М .. К л а 1\1 к И 11, М. М., 43, 236 (Мау 1 9 70) .]
306. Разность половин диагоналей равна 1 - '1/2/2,
поэтому длины отрезков, п р оведенных через вершины
м е ньшего квадрата, равны 2 - '1/2. ЭТН отрезки отсекают
в каждом углу от стороны квадрата по (2 - '1/2)/'1/2.
Значит, ДЛJIНЫ частей, оставшихся от сторон большого

20!