Page 198 - 1975_matematika-izium

299. Нату а льное ЧIIСЛО, которое в десятичной си�
р
CTel'l'le записывается с помощью 6k - 1 единицы. может
быть п р остым. Например, IIзвестно, что ( 1 0 23 - 1 ) : 9, KO�
торое записывается с ПОМОЩЬЮ 23 еДИIIIIЦ, - простое.
Всякое число, которое записывается с поыощью q =
= 6k - 1 единиц, можно представить в виде ( 1 0'1 - 1 ) : 9.
ПОСI<ОЛЬКУ 6k - 1 не делится на 9, все простые ДелитеЛII
числа ( 1 0 '1 - 1 ) : 9 должны быть деЛllтеЛЯl\lН числа
1 0 '1 - 1 . Хорошо IIзвестно, что еСЛII q составное, то co�
ставным будет и ( 1 0'1 - 1 ) : 9. СлеДОП<lтелыlO, еСЛII число
( 1 0 '1 - 1 ) : 9 просто, то простым будет 11 q. Более того, IIЗ
р
теоремы Фе м а следует, что JIюбоii простой деЛlIтель р
числа ( 1 0 '1 - 1 ) : 9 обязан представлятьсл в Вllде 2kq + 1 ,
где k - целое ЧПС;ГIO.
далее, еС.ан Р = 2q + 1 - простое число, q - тоже
простое и Р =1= 5, то, как следует из обобщени я одного
результата Эйлера, р = 2q + 1 представляет собой де­
литель ЧИС.тIа ( 1 0'1 - 1 ) : 9.
[к. У и л к н , М. М., 43, 1 6 7 (March 1 9 70 . ]
)
300. 1. Пусть днаметр полукруга с центром в точке О
равен 2R. Сторона вписанного квадрата р а вна 2 -V5R/5.
Если А и Б - вершины квадрата, лежащие на данной
полуокружности, то Д.тIина перпендикуляра, опущенного
из А на ОБ, равна u = 4R/5. Наш треугольнИI<, очевидно,
прямоуголен. Если мы опустим из его п р ямого угла вы­
соту Il на гипотенузу 2R, то в силу равенства площадей
u = /1. Далее, если центр окружности, вписанной в Tpe�
угольник, леЖJIТ на стороне квадрата и если d - pac�
стояние lIIежду центрами вписанной п описанной ОJ{РУЖ�
ностей, то
d2 = , 2 + R�/5 = R2 - 2R,*,
где , - радиус вписанной окружности. Следовательно,
r = R (3 -V5 /5 - 1). Но в прямоугольном треугольнике
Il = 2, + r2/R, откуда /! = 4R/5 = и, как и было показа�
но выше.
[По Т о м а с, М. 1I1., 43, 1 6 7 (March 1 9 70) .)
11. Введем декартову систему координат так, чтобы
наша полуокружность задавалась уравнением х2 + !i = 1 ,
у ;;:: О. Тогда (+ 1 / -J5, 2 / -V5) - координаты вершин,
а 4/5 - площадь вписанного квадрата. Пусть А = (- 1 , О)

201