Page 203 - 1975_matematika-izium

Jогда справедливы перавенства:
II + V + v + х > ь,
х + у + y + z > с,
z + w + w + u > a .
Сложив между собой все эти неравенства, мы получим,
что 2 (Ilа + Ilb + Ilc) > а + ь + с; откуда
� + � +
а + Ь + с � > � ' 00
2
Объединяя ( 1 ) и (2) , м ы и пр"ходим к нужному резуль-
тату.
[с. М. Д и а н о, М. М., 43, 228 (Мау 1970) .]
1 1 . Если Р - flроuзаольная внутренняя точка остро­
угольного треугольника А В С, то АР + ВР + СР >
> (а + ь + с)/2. В ы брав в качестве Р ортоцентр Н, мы
получим
l,a + h b + h c > AH + B H + C H > а + Ь 2 + с '

Более того, известно, что -Уз (а + ь + с) ;;;;.=
� 2 (I!u + hb + Izc) . Отсюда мы и ПОЛУЧIlМ неравенство

..!.. < ha + hb + h� < -V3 <
2 а + Ь + с 2 1 •
[Л. Б э н к о ф , М. М., 43, 229 (Мау 1 9 70).]
3 1 0 . 1. Определитель р а вен ориентированному объему
параллелепипеда, построенного на векторах, чьи проеI{­
ЦИИ в декартовой системе координат совпадают со стро­
l(al\lII этого определителя. Квадрат длины первого
вектора (а следовательно, в силу симметрии и ((вад­
рат длины каждого из остальных двух векторов) равен
й
d2 2.
2
(а + Ь2 + с 2 + ) Скалярное произведение перво пары
векторов равно О, поэтому в силу симметрии все наши
векторы попарно ортогональны. Следовательно, наш
параллелепипед представляет собой куб объемом
2
+ (а + Ь2 + с 2 + d2 ) З . Поскольку непосредственно видно,
что в данном определителе коэффициент при а6 совпа­
2
)
Ь
дает с + 1 , Т О этот определитель равен (а 2 + 2 + с + d2 З.
С помощью того же метода можно получить более об­
щие результаты. Например. nycTbs" = xi + x� + . . + x�,
,
пусть да.'1ее 1 n - единичная матрица п-го порядка, а А n -
205