Page 208 - 1975_matematika-izium

жется 2\ из которых только 2 - параллелограМ:I1Ы. Если
МЫ CTalIeM выбирать ТОЧIШ на чередующихся сторонах, то
наiiдется еще 2 (24) самопересеl{ающихся четырехуголь­
IIIJКОВ. Таким образом, утверждение Хиппи окажется
справедливым только в t/v. части всех ВОЗl\IOЖIIЫХ слу­
чаев. Если же мы рассмотрим ТОЧЮI, делящие стороны
11<1 n равных частей, то соответствующее утверждение ока­
жется справедливым всего ЛИШh Б tZ - 1 случае из
3 (n - 1 ) 4 И, следовательно, доля верных ответов будет
равна 1/з (1l - 1 ) 3 .
[ч. Т р и г г , М. М., 43, 234 (М ау 1 9 70) .]
3 1 4. Пусть n - число маленьких треугольников, а е ­
н
число их сторов, расположен ы х внутри исходного тре­
угольника. Из 3n сторон Бсех n маленьких треугольни­
ков 3 стороны принадлежат исходно у треугольНlШУ,
м
а остальные стороны лежат внутри этого треУГОЛЬНlша,
п р и чем каждая из пих считается дважды. Следовательно,
I
е = "2 (3n - 3). Поскольку число е целое, tZ должно быть
нечетным.
[Л. Т у , М. М., 44, 54 (January 1 9 7 1 ) . ]
3 1 5 . Если мы Dыберем прямоугольпую систему КООР­
ДlIнат, ОСII I<ОТОРОЙ идут вдоль данных хорд, то центр
сферы будет расположен в точке с Iшординатами (Ь - а,
f
d - с, - е) , где мы можем считать без ограничеНIIЯ
л
общности, что Ь � а, d � с и ' ;:3: е. Тогда мы по у чим
с.'1едующее соотношение для радиуса данного шара:
R2 = (Ь - а - 2Ь)2 + (d - с - 0)2 + (' - е - 0)2 =
2
е
= а2 + Ь2 + с2 + d + + - 2 '
f2
е2
( п оскольку аЬ = cd = ef) .
Стоит OТl\leTIITb, что результат легко переносится 11 на
ы
С.1учаЙ n-мерной сфер . В специальном случае круга
(n = 2) остаются только квадраты, а произведенпе раз­
IIbIX отрезков исчезает.
[ М . К л а м к и н, М. М., 44, 55 (January 1 9 71 ) . ]
3 1 6 . Разделите треугольный периметр на 1 1 равных
частей, а затем проведите разрезы по прямым, соединяю­
ЩИl\1 центр вписанного круга с получившимися точкаl\1II
деления. В п ервые эту задачу поставил г. С. М. Коксетер
2 1 1