Page 204 - 1975_matematika-izium

матрица n-го порядка, у которой элеllIент aij =;
= (-I ) i+.i-ХiХj. Тогда при 11 = 1 , 2, . . . МЫ получим

I s 1 + 2А 1 = - s" .
n n
"
n
.
[Н. Н е т т х е i 'l М , М. М., 43, 229 (Мау 1 970) .]
1 1 . Пусть D - данный определитель, 11 пусть
а d - c
А = - d а Ь
с - Ь а

Легко видеть, что определитель А' присоединенпой мат­
рицы 1 равен
а2 + Ь 2 М - а с
А' = bc - a d ab + c d
М + а с a2 + d 2
и что
А · А ' =
2
а (a2+b 2-c 2 _d ) 2а (Ьс + ad) 2a (bd - ас)
2
2а (Ьс - ad) а (a2+c2-b -d2) 2а (аЬ + cd)
2
2
2а (ас + bd) 2а (cd - а Ь) а (a +d -b2-c2)
·
то есть А А ' = a3D. В силу элеl\1ентарных свойств опре­
делителей мы получае:vr, что А' = А2, то есть a3D = А З .
Поскольку А = а (а2 + Ь2 + с2 + d2) , м ы немедленно
находим D = (а2 + Ь2 + с2 + d2) 3 .
[Е. 1\:1 о р р и с о н, М. М., 43, 230 (Мау 1 9 70) .]
I l I . Обозначив исходный определитель через 11, а оп­
ределитель транспонированной матрицы через I1т, м ы по­
лучим, что

о
2
2
(а + Ь + c2+ d 2 2 О
)
О (а + Ь2+ c +d2) 2
2
2
I То есть определитель маТРIIЦЫ, у КОТОРОЙ в i-й строке 11
j-M столбце стоит алгебраическое дополнеllllе к элементу aiJ исход·
1IОЙ матрицы. - ПРUloI. nерео.
207