Page 206 - 1975_matematika-izium

Если мы возьмем какой-то большой круг и будем по­
ворачивать его до тех пор, пока он не пройдет через уже
Пlllеющпеся точки пересечения, то общее число таких
точек уменьшится. Повторяя этот процесс, м ы придем на­
I,oHeu I{ случаю, когда все О!(ружности будут проходить
через 2 ПРОТИВОПО.'10жные точки на сфере.
Если n - 1 окружность проходит через 2 точки, то
оставшаяся окружность дает еще 2 (n - 1 ) точек, так что
общее число точек пересечения равно 2 (n - 1 ) + 2 = 2n_
На следующем шаге эта последняя окружность будет
проходить через те Же 2 точки, что и остальные, и число
точек пересечения станет равным 2*.
[л . Б э н к о ф, М. М., 43, 233 (Мау 1 9 70) .]

3 1 3 . Обозначим, двигаясь по часовой стрелке, коорди­
наты последовательных вершин данного четырехуголь­
ника через (XI, YI) , (Х2, У2) , (Хз, Уз) и (Х" У') . Тогда точки,
делнщие стороны четыреХУГОЛЬНlша в отношении г, бу­
дут иметь координаты
А [( Х ,'2 - XI) г + X I ' (У2 - YI) г + YI),
2
в [(Хз - х )г + Х2' (Уз - У 2 ) Г + У2]'
С [(Х4 - Ха) г + Ха, (У4 - Уз) г + Уз),
D [(ХI - Х4) , + Х4• (УI - У4) Г + У4]·
Е с ли угловые I{оэффициенты отрезков АВ и CD
равны между собой, то
(Уз - 2У2 + y.) r + У2 - У. _ (У. - 2y� + Уз) r + у , - Уз
(хз - 2 Х + 2 х .)r + Х 2 - х . - (xl - 2 x� х з r + Х 4 - Х З '
+
)
ПОСI<ОЛЬКУ м ы рассматриваем такое г, что равенство
справедливо п р и всевозможных (Xi, Yi) , образующих че­
тырехугольник, то можно проверпть его па каком-нибудь
одном. Пусть
(Х2, У2) = (О, 1), (Хз , Уа) = (2, 2),
(Х4, У4 ) = ( 1 , О),
Хогда
2
2r
-
2r = ---:::т- .
l 2" '
откуда 4г2 - 4, + 1 = О и Г =
209