Page 211 - 1975_matematika-izium

Умножив обе части данного равенства на n, м ы пОлучим
: + ; + . . . + 1 = n ,

где левая часть представляет собои сумму п р авильных
делителей числа n, записанных в убывающем порядке.
Но это означает, что n - совершенное число. Следующи­
ми после 6 совершенными числами будут 28 и 496.
[Д. С и л в е р м э н , М. М., 44, 56 (January 1 9 7 1 ) .]
324. Логарифмируя обе части данного уравнения, мы
получим эквивалентное уравнение
{ (х) = х 'п + 'п (х + 1) = о.
х
Так Kal( 'П ( 1 + х) < х при всех х > О, то при 0 < х <!
< l/е
{ (х) < х 'п х + х = х 'п .!.. < О,
е
а при х > l / е
{' (х) = п + 1 + 1 � х = 'П хе + 1 � х > О
' х
и, значит, { ( х) монотонно возрастает при х > О; следо­
вательно, у данного уравнения есть не более одного ве­
щественного корня. Приближенные вычисления приводят
к значению корня х � 0,43605.
IП. Л а Ф р а т т а , М. М., 44, 56 (January 1971 ) . ]
325. Квадраты любых трех последовательных членов
арифметической п р огреССIIИ с разностью d удовлетво­
ряют уравнению
2
a� - 2(а[ + d)2 + (a + 2dY= 2d •
l
В наше\1 случае оно прини�!ает ВIIД
х - 2у + z = 2d2•

Следовательно, все четыр е вершины тетраэдра компла­
нарны, а его объем равен нулю.
Мы видим, что JlIOЖНО было бы взять ai, которые все
вместе не составляли бы арифметичеСI<УЮ прогрессию, но
такие, что каждая тройка последоватеJIЬНЫХ ai представ­
ляла бы собой арнфметичеСI<УЮ прогресСIIЮ с одноп 1I
той же разностью d.
[Ч. Т р н г г , М. М., 44, 1 1 4 (February 1 9 7 1 ) . ]
2 1 4