Page 214 - 1975_matematika-izium

1 1
= AP2k = "2 AP2k-1 P2k P2k+ 1 = BP2k+ 1 = "2 BP2k, то
И
'
р Р" = АР' = � АР" и Р' Р" = ВР" = � BP'I. Следов а ­
тельно, А, Р' и Р" - КОЛЛlIнеарны, причем Р' сов­
падает с серединой А Р "; а В, Р , Р" также коллине­
арны, и Р" совпадает с серединой ВР'. Таким образом,
точки Р' и Р" делят отрезок АВ н а три равные части и
представляют собой единственные предельные ТОЧl<Jf со­
ответственно для ПОС.'lедовательностеiI {Р21!} и {P2hH}.
З н ачит, Р2" -+ Р', Р21!+1 -+ Р", И м ы получаем требуемыi%:
результат.
[Д. О у м э н , М. М., 44, 1 1 0 (February 1 9 7 ) ) . ]
Н. Данный результат справедлив для любого тре­
угольника АВС.
-+- � -+ ---+
Пусть С = О, СВ = ОВ = В " СА = ОА = А .
Радиус-вектор любой ТОЧIШ Pi, принадлежащей на­
шей ПОС.'Iедовательности, выражается в виде линейной
КОl\,бинаЦlШ векторов В и А , то есть
Pi = xA + у В ;
а IIменно:
1 1
P1 = 2" B = 0 - A + 2 B,
1 1 1 1
Р2 = P1 + 2" A = 2" A + "4 B ,
2
З = 1 Т 2 1 В 1 + "6 5
Р Р2 + = lf А В
и т. д.
Вообще, проеКЦШI х точек P2k образуют ПОС. lJедова-
2
3

_
_
TeJJbHOCTb '/2' 5/8' 1/ 2 ' _ _ _ , Xk' . , где
n - I
4
i=O _ 4 _ 1 -.!..(
2:
k
Х - - 4 _ _ 1 _) "
k - 2 . 4 Н 1 - 6 . 4k-1 6 4 k - l '
откуда видно, что
2
1 • 1т хn = з ­
k�co
Проекции у точек P2k образуют, с другой стороны,
последовательность
.. . ,
1 5 21
J НаЙДlIте иестрогость в этом месте! - П pUJJI. ред.
211