Page 216 - 1975_matematika-izium

Поскольку в (4) участвуют направленные ОТРСЗIШ, ЭТО
означает, что В' - середина А. Точно так же, выбирая
другие треУГОJIЬНИКИ, м ы получим, что С' - середина АВ
Il А' - середина ВС. .
ТаЮIМ образом, м ы с необходимостыо получаем, что
точки А ' , В', С' лежат строго внутри отрезков В С , СА и
АВ, и делать дополнительно такое предположенпе пе
нужно.
Для того чтобы сделать каКОЙ-.'Нlбо другой вывод, ис­
ТОЛI<уем отреЗЮI исходной пропорции "ак ненаправлен­
"ые. Тогда, заменяя их напраВ.l]енными отрезками, мы
можем заметить, что л и бо все дроби имеют одинаковые
знаки (уже р а зобранный нами случай) , либо знак одно!!
из дробей отличается от знака двух остальных. Пусть,
скажем,
AG CG = БG
GA' = GC' - GБ' · (5)
Воспользовавшись приведепными выше рассуждеНИЯl\III,
мы придем к равенству (4) , из которого, как и прежде,
будет следовать, что В' - середина А С . ИЗ пропорЦlШ
AG БG
GA' = - GБ' мы по.'1учим
AG GA' БG GБ'
GA' + GA' - = 1 - GB' - О lЗ ' + 1 ,
оТ!<уда
А А ' ББ' (6)
ОА' = 2 - GБ "
Далее, из (5) следует, что В'С/СА = - 1 /2, 11 ПОЭТОМУ ( 1 )
п р имет вид
(7)

Полагая в (7) ОВ/ВВ' = О В'/ВВ'- 1 11 I1сключая АА'/А'О
из (6) , мы получим

2, - 2 , + 1 = 0 , (8)
где , = ОВ'/ВВ'. Но уравнение (8) имеет комплексные
IЮрНИ, так что этот случай отпадает.
Таким образом, остается единственно возможным слу­
чай медиан, а зобранный выше.
р
.
[Е. С т а р к, М. М., 44, 1 1 2 (February 1 9 70) . ]
219