Page 199 - 1975_matematika-izium

(
и В = 1 , О). У данного вписанного треугольника Аве
координаты вершины е равны (3/5' 4/5) или (-3/5' 4/5)'
Возьмем е = (3/5, 4/5)' Тогда sin А = cosB = 1 !-J5, cos A =
= s i В = 2 / -V 5, tg A/2 = -V 5- 2 и tg B/ = (-V5- 1)!2.
2
п
То ка пересечения [ 1 ! - V5, (3 - -V ) ! -V 5] прямых =
5
ч
!I
= tg А/2 . (х + 1 ) и у = tg В/2 · ( 1 - х) совпадает с цен­
тром вписанноfl окружности и лежит на правой стороне
к в адрата. Аналогично, если е = (-%, 4/5)' можно пока­
зать, что центр вписанной окружности Jlежит на левой
стороне квадрата.
[Л. Р и н г е н б е р г , М. М., 43, 1 6 7 (March 1 9 70) .]
I I I. В любом прямоуголыlмM треугольнике Аве (е =
= 900) выполняется соотношение r = s - с, где r - ра­
диус вписаllНОЙ ОI\РУЖНОСТИ, s - полупериметр, а с - I'И­
потенуза. Следовательно,
rs = -V s (s - а) (s - Ь) (s - с) = (s - а) (s - Ь).

Другими словами, площадь прямоугольного треугольни ·
ка р а в на произведению отрезков, на I<оторые точка ка­
сания вписанной окружности делит гипотенузу.
В нашем случае каждая IIЗ двух вершин квадрата,
гасположенных на гипотенузе, делит ее симметрично на
два отрезка, произведение которых равно площади дан­
ного квадрата.
Так как площади квадрата и треугольника равны ме­
жду собой, одна из вершин квадрата совпадает с точкой
касания вписанной окружности и гипотенузы. Поэтому
пентр вписанной окружности лежит на одной из сторон
даНIIОГО квадрата.
[Д. Д у н к а н, М. М., 43, 1 6 7 (March 1 9 70) .]
1
30 . Если зафиксировать основание треУГОЛЬНИI<а и
сумму двух остальных его сторон, то наибольшей высо­
той будет обладать рзвнобедренный треугольник. Ана­
логичным образом, если задать основание и зафиксиро­
в а ть сумму длин трех отрезков, ТaI<ИХ, что из них по­
парно можно составить недостающие боковые стороны
трех треугольников с заданным основанием, то сумма
и
высот таких треугольн к ов будет максимальной в том
случае, когда все они будут равнобедренными и конгру·
202