Page 197 - 1975_matematika-izium

Поэтому Iюординаты ТОЧКII В равны (Ь, -ЬХ1{а ) .
З Н 1\ Ч ИТ, ОС = .v X� + а2, ОВ = .vb2 + xib2{a2 11
tg L ева = Ь{а.
Ы
Таким образом, все РОl\lбы, вписаllНые в даlШ l l пря­
моугольник, подобны.
[У. Ф о I{ с, М. М., 43, 54 (January 1 9 70) .]
297. Из р а венства 9п + ХТ(Н = ХА + ХТ(-! + . . . +Хl +
+ Хо = ХТ, + ХА + 9m легко выводится, что ХА есть оста-

1
�
ток от деления 2 Хn = 2 h- 1 на 9 .
Докажем теперь более общиii результат. РаССМОТРИ:\1
последовательность {Xh+l} остатков от деления чисе:1
А
, хо на п. Запишем с помощью этой последоватеЛЫIOСТII
число Хо. ХtХ2ХЗХ4 ' " в системе СЧllслеllllЯ с основанием
Ь > п. Посколы<у Ч I fСЛО раЗЛИЧIIЫХ остатков конечно, су­
ществуют по крайней мере два равных элемента ХА 11
ХА+р. Поэтому
п
ХНI = ,JXk + n · р = ,JXk+P + · р =
= X k+P+f + n . m для j = O, 1 , • . . , р - l.
Отсюда следует равенство Xk+j = XTi+p+j, поскольку о :::;;;;
:::;;;; Х; :::;;;; n - 1 . Следовательно, запись нашего числа со­
стоит из периодически поиторяющегося блока IIЗ р цифр,
а значит, данное число раЦlЮН1\ЛЬНО.
[К И О К О М , М. М., 43, 56 (January 1 9 70) .]
298. По.ТlOжим .v sin 8 = а {Ь и .v cos 8 = c/d, где а,
Ь, с, d - положителыlее целые числа; тогда

• 2
2
_ а'
sIП 8 + cos е - ьт + (fI с · '
Отсюда, используя соотношение
sin2 8 + cos2 е = 1 ,
м ы получим

Но это перавенство не выполняется, ПОСI<ОЛЬКУ уравне­
ние Х/О + !I' = z4 не имеет по.тЮЖlIтельных целых реше­
ний *.
Следовательно, .v sin 8 II .v cos 8 не могут одновре­
менно принимать рациональные значения.
[Н. Ш а у м б е р г е р, М. М., 43, 1 7 4 (March 1 9 70) .]

200