Page 193 - 1975_matematika-izium

ПОСI<ОЛЬКУ
а + Ь + с = 2р, abc=4RS,

где р - полупериметр, а S - площадь треугольника А 8е,
мы получаем из ( 1 )
Rp > 2S = 2гр, (2)

где r - радиус вписанного круга. Но (2) эквивалентно
известному неравенству
R > 2r,

!шторое обращается в равенство только в случае равно­
стороннего треугольника 1 .
[л. К а р л и т ц , М. М., 43, 49 (January 1 9 70) .]
1 1 . Поскольку А + 8 + е = n, мы легко можем при­
вести данную дробь к виду
I = 1
2 sin (11/2) sin (В/2) cos {( А + В)/2} й ·
Найдем максимум веЛИЧIIНЫ D, дЛЯ чего приравняем
1< нулю соответствующие частные производные:

�� = sin (8/2) cos (А + В/2) = О,

:� = sin (А/2) cos (Aj2 + 8) = О.
Отсюда м ы получаем, что величина D достигает cBoero
абсолютного м а ксимума, равного '/4, при А = 8 = n/з.
с.'lедовательно, исходная дробь достигает своего абсо­
лютного минимума, равного 4, при А = В = е = п/з.
n
[д. Д у н к а н . М. М , 43, 49 (Ja u ary 1 9 70) .]
1 1 1 . Известно, что h;;+ 7ib h; , 7[
1
1
1
1
2
+ = > ' где lla,
lzb, hc - высоты треугольника А в е, а r и R - р а диусы
соответственно вписанной и описанной окружностей, ПРИ4
чем равенство достигается только в СJ1учае раВНОСТОРОIl4
него треугольника
Следовательно,
ЗJi + � + � > 4 ,
h a h b h c
I СМ. задачу 285 JI др. - При!>t. ред.
1 96