Page 190 - 1975_matematika-izium

водя сум м ирование только по тем р, I<OTopble взаимно
лростUI с n, мы получим
f ( n) - f (n - l = L а р - L Ь р =
)
р < n 2р< n
= Е. (ар + аn-р - Ь р ). (*)
2р<n
Но ар + аn-р - Ь р = О; следовательно, { ( n) = {(n - 1)
лр" n � 3. Отсюда и вытекает нужный результат. [Отме­
ТИМ, что при n � 3 в (.�) не члена с р = n/2, поскольку
(р, n) = I . J •
[д. Б л у м , А . М. М., 76, 41 7 (Мау 1 9 69) .]
285. Если бы треугольник HIO был равносторонним,
то выполнялись бы соотношения
0[ 2 = ОН2 , (1)
0[ 2 = 1 Н2. (2)

Пусть R, р , , - соответственно радиусы описанной, впи­
санной окружностей и окружности, вписанной в тре­
угольник НtН2НЗ, образованный точками касания впи­
санной окружности исходного треугольника с его сто­
ронаМII. Известно *, что
OP = R 2 - 2Rp, IH2 = 2p2 - 2Rг.
OH = 2 R '! - 4Rr.
р
С1едовательно, из ( 1 ) BbITeI<aeT, что 2, = . а из (2) �
что R2 = 2Rp + 2р2 - Rp = Rp + 2р 2 , Но Р � Щ2, при­
чем равенство Достпгается ТОЛЫШ в р а вностороннем тре­
угольнике АВС*. Значит,

R
R р + 2 2 �.!f... + 2 R2 = �
р
---=:: 2 4 •
Та[{им образом, треугольник А В С равносторонний. Но
в этом случае HIO - вовсе не треугольник, поскольку все
три точки Н, 1 и О совпадают.
Далее, ПОСI<ОЛЫ<У L cos А = 1 + p/R, мы получае�I
р = R/2. Следовательно, треугольшш А В С равносторон­
нш", и H = l = О.
[с. Р е й ч, А. М. М., 76, 4 1 8 (Мау 1969) .]
286. Следующее доказательство представляет собои
простое обобщение идеи ПоiIа, с помощью I<ОТОРОЙ мо-

7 3ак. 753 193