Page 191 - 1975_matematika-izium

жно показать, что простых чисел бесконечно много. Пусть
) ' '� + 1 и пусть т < n. Если р -
Р n = (2k :l положитель.
ное целое число, то
2
2
2
х р - 1 = ( х + 1 ) (x2P-. - х р- 2 + х 2р-З _ • • • - х + х - l).
Взяв х = (2k)2m и р = 2 n -m-l, м ы получим, что Рn - 2 де.

лится на Рт• Следовательно, наибольшиii общий дели·
тель (Рт, Рn) � 2. Поскольку Рn нечетно, (Рт, Рn) = 1 ,
р
)
[Н. Ф е л с и н г е , А. М. М., 76, 554 (Мау 1 9 69 . ]
287. Положим 8 (х) = sin (cosx) - х, О � x � � 11:. Тогда
8 (О) = sin I > О, 8 ( � 11:) = - � 11: < О н, кроме того,
8' (х) < О, 0 < х < � 11:. следователыI,, существует един'

ственное число О < с < i- 11:, такое, что sin (cos с) = с.
Если cos (sin d) = d, то sil1 {cos (sin d) } = sin d If
0 < sin d < � 11:. Но sin (cos с) = с и с единственно; сле­
довательно, с = sin d. Значит, d = cos с и d единствен­
но. Более того, поскольку с = sin d, а sin х < х при
х > О, м ы получаем, что с < d.
[д. Х е й х а л, А. М. М., 76, 558 (Мау 1 9 69) .]
288. Чис.'ю 'Л я в ляется lюрием многочлена (x - l ) f ( x) ;
поэтому
.
'Лn+ . = (l - а.) лn + (а. - а ) лn- + . . . + (о -. - а ) 'л +о .
2
n
n
n
в силу неравенства треугольника
.
)
.
+
I Л l n · � (I -' а ) I Л l n + ( а. - а 2 1 'Л l n- + . . . +
+ (аn-. - оп) 1 Л I + o � (l - 0 . ) 1 л r +
n
+ (а. - 0 ) 1 л l n + . . . + (О -. - оп) ! 'л In +
2
n
+ оп 1 'л In = 1 л r.
Следовательно, I 'Л I � 1 . Но ПО условию I 'Л I � 1 ; значит.
1 ') , I = 1 и неравенство треугольника обращается в ра­
венство. Таким образом, все чис а
л
.
(1 - 0 .) Л", (o. _ � p .. n- , . . . • (o -. - а ) Л , а
n n n
ПО.1УЧЮОТСЯ путем у�ножения пекоторого комплексного
ч и сла на неотрицательные сомножите.'lИ, Кроме того, эти
194