Page 189 - 1975_matematika-izium

И обратно, пусть выполнено псходное соотношеНие .
Взяв за начало координат РО и положив n = 2, мы по­
лучим

Зафиксировав Р 2, мы найдем, что точка (Xj,y,) удовлет­
воряет уравнению
2
УХ = 2 2 Y'l:''C .
I<оторое задает параболу (случа й У2 = О исключается ус­
ловием нелинеЙности) . Следовательно, данное условпе
действительно необходимо и достаточно.
)
[М. r р и н и н г, А. М. М., 76, 307 (March 1 9 69 . )
283. Прежде всего заметим, что Х, у, Z не м о гут быть
отрицательными, так как иначе 4х + 4у + 4z не будет це­
лым числом. Если Х � у � Z, то из того, что 4х + 4у + 4%
предст в ляет собой полный квадрат, следует, что суще­
а
ствует такое положительное целое т и такое положи­
тельное нечетное число t, при которых
.
1 + У - К + 4 �-K = t + 2т 2.
t)
(
4
Поэтому
oТl<yдa т = 2у - 2х - 1. следователыl,,
- = У-Х - l ( ,,-2У+х j. 1 _ t2) =
t 1 4 4
У- - ( г-'!у t·x + l + t) ( �-2У+Х j. 1 - ().
1
= 4 К 2 2
откуда t = 1 и z = 2у - х - 1 * . Таким образом, все це­
лые решения данного уравнения представимы в виде
{х, у, 2у - х - I } , где х, у произвольны. При этих значе·
ниях х, у, z наш квадрат р а в ен (2Х + 22У-Х-I)2.
[Э. Д ж о н с , А . М. М., 76, 308 (March 1969) .)
284. Пусть f (n) - данная сумма. Слагаемые, входя­
щие в f (n) , но не входящие в { ( n - 1 ) , имеют вид ар =
= 1 / рn, где 1 ::::;; Р < п и р взаимно просто с n; слагае­
м ы е из {(n - 1 ) , которые не входят в ( ( n ) , можно запи­
сать в Биде Ьр = 1/р ( n - - р) , где 1 ::::;; р < n - р и р
взаимна просто с n - р, а значит, н с n. Поэтому, п р оиз"

19 2