Page 180 - 1975_matematika-izium

258. Сложить прочны й квадрат из 1 8 костей домино
невозмоЖНо. Рассмотрим квадратную сетку 6 Х 6, кото­
р ая образована из квадрата с помощью ШIТи вертикаль­
ных и пяти горизонтальных р а зделяющих прямых. Каж·
дая кость домино покрывает ровно две ячейки такой сет­
ки. Покроем всю пашу сетку 1 8 JЮСТЯМИ домино. Полу-

чившиikя при этом квадрат будет прочным в том и ТОЛь­
ко в том случае, когда каждая р а зделяющая линия пе­
ресечет по крайней мере одну кость домино.
Слева от каждой вертикальной разделяющей прямой
находится четное число клеток Поскольку каждое «не­
разрезанное» (то есть не пересекаемое данной прямой)
домино занимает четное число клеток, половинки «раз­
резанных» домино также должны занимать слева от ЭТО!I
прямой четное число клеток Таким образом, если бы
я
среди всех раздел ю щих линий не бы.1J:О ни одной, раз­
рушающей прочность, то каждая из них разрезала бы по
крайней мере две кости. Ясно также, что каждую кость
можно разрезать только одной разделяющей линией. По­
ЭТОI\IУ дЛЯ 1 0 разделяющих линий нам потребуется 20 KO�
стей домино. Но, посколы<у у нас всего 1 8 костей, по­
строить из них прочный квадрат невозможно.
(с. Г о л о м б, Scientific Aтerican, 1 6 8 ( D есешЬег 1 9 60) .]
259. Обозначим н а и больший общий делитель чисел х
и у через (х, у) . Тогда
(35,58) = (35,23) = (1 2,23) = ( 1 2, 1 1) = О , 1 1) = 1 .

Следовате.'IЬНО, 35 II 58 взаимно просты в любой системе
rчисления с ОСlIоваНllем > 8 .
[Д. С и л в е р м э 11, М. М., 38, 326 (NоvешЬег 1 9 65) .]

181