Page 179 - 1975_matematika-izium

параллелограмма. В силу теоремы Паппа точки (), 1 и Н
пересечения п р отивоположных сторон шеСТИУГОЛЬНщ<а
AEDBFCA Iюллинеарны. Теперь осталось заметить, что

А

любая прямая, проходящая через центр параллелограм�
1
ма, делит его на две равные части .
[1\1\. Ч а р о ш , М . М . , 38, 252 (September 1 9 65) .]
256. 1 2 345 =:;;;;; N2 =:;;;;; 54 321 , поэтому 1 1 3 =:;;;;; N =:;;;;; 221 .
Если мы заПIlшем цпфры Чllсла N в обратном порядке, то
получившееся при этом число также будет удовлетворять
данным неравенствам. Число N2 делится на 5, так что и
N делится на 5 *. Выпишем все трехзначные числа, деnя ..
M
щиеся на 5 и удовлетворяющие данным HepaBeHCTBa �
1 1 3, 1 2 2, 1 3 1 , 1 4 0, 1 4 5, 1 5 4, 203, 2 1 2 11 221 . Среди них есть
только одна пара п а линдромов. Возведя в квадрат,
убеждаемся, что она и дает еДIlнственное решение нашей
задачи: (221 ) 2 = 5 3 2 4 1 , 1 5 3 24 = ( 1 2 2) 2.
В качестве «бесплатного приложения» м ы получаем,
что (203)2 = 42 0 1 3 - е ще одной перестановке пяти по�
следовательных цифр.
257. Мы можем считать без ограничения оБЩНОСТIl,
чте а и Ь взаю.шо просты и а > О. Если бы а/Ь + Ь/а = k,
целому числу, то выполнялось бы равенство а2 + Ь2 =.
= abk, то есть Ь2 = а (bk - а) . Отсюда следовало бы, что
Ь2 деюIТСЯ на а; но это возможно ЛИШЬ в случае а = + Ь .
Таким образом, наша сумма равна целому числу в том
и только в том случае, когда а = +Ь.

I Речь ш/l3, О'lевидно, о lIевыпуклом шеСТИУГОЛЫIlII<е. Обозна­
чим буквами ero последовательные веРШIJНЫ. В том же ПОРЯДI<е
обозначим темн же буквами вершины HeKoToporo правильного ше­
стиугольника. Назовем противоположными те стороны нашего ше­
стиугольника, которым (в тех же обозначениях) соответствуют про­
тивоположные стороны правильного шестиуго.%ннка. Именно в ЭТО\\!
смысле употребляется термин «противоположные» В теореме Пап­
па. - П pU.Al. перев.
180