Page 274 - 1975_matematika-izium

точке IIЮ! были все парал.lельны друг другу, необходимо н
достаточно, чтобы нмело место равенство
АВ' ' СА' ' ВС' = 1 .
'
'
'
В С А В С А
В этой теореме не предполагается, что точки А', В', С' лежат
обязате.'lЬНО на отрезках ВС, СА 1I АВ. Поэтому, вычисляя отноше­
ния, С- 'lедует учитывать также н направления отрезков. Напрнмер,
еС.'1ll В' лежит на продолжеНIIИ АС в сторону А (так что А лежит
между В' и С), то отрезки АВ' и В'С имеют противоположные на­
правления и отНошение АВ'/В'С отрицательно. Тем самым порядок
БУI{В в написанной Еыше форму.'lе весьма существен. Если точка пе­
'
ресечеНlIЯ трек прямых АА', ВВ , се укодит в бесконечность, то
они становятся пара.'lде.1ЬНЫМИ.
Из теоремы Чевы можно дегко вывести также, что три биссек­
трисы в треУГОЛЫlllке И.'lн три высоты пересекаются в одной точке.
Доказате.'lЬСТВО этой теоремы, ее обобщения и раЭ.'lичные следствня
см.: Д. О. Ш к л я р с к и Й, 1 1 . Н. Ч е н Ц о в, И. М. Я г л о м, Из­
бранные згдаЧIl и теоремы э.'lементарноЙ математики, ч. 2, Библиотека
математического кружка, вып. 2, М., ГИПЛ, 1952, задача 133 и др.
(есть и другие издания .
)
101. Очень старая и очень популярная задача.
1 0 4. PeBHHTe.'lb строгости рассуждений сказал бы здесь: «еле­
довате.'lЬНО, либо а = 2, лнбо тю<Ого а вовсе не существует». To.'lЬKO
после ВЫПО.'lНения де.'lения мы можем утверждать, что а = 2 яв­
ляется решением.
1 0 5. А зачем фермеру воо6ще покупать те.'lЯТ? Он может, не
нарушая условия задачи, купить 20 ягнят 11 80 поросят. Если 060-
значить через х и у число купленных телят 1\ ягнят, то (учитывая,
что с I{аждым тe.'leIlKOM надо покупать 18 поросят, а с каждым яг­
ненком - 5 поросят) мы по.'lучаем систему
19х + 5у = 100;
100 - I9х неОТРllцательно и деЛlIТСII на 5 только при х = О и 5.
Первая возможность дает указанное выше решение, вторая - припе­
денное автором.
107. ОбознаЧllМ 5CED = 5EFD = 51, 5EHD = 52. Приведенное
решение исходит нз предположеНlIЯ, что 3 < 5\ < 52. Но почему
это так ? И з рисунка видно, что 3 < 51 И 3 < 52, так как t;,. EFD и
t;,.EHD содержат t;,.EGK, а 5EG K = 5вЕн = 3. Но почему не мо-­
жет быть 3 < 52 < I?
S
Сиова обратившнсь к рнсунку, находим, что
2
S2 = 3 + SKGD + SEHJ,
5 t = 3 + 2 SKGD·
Если 3 < 52 < 51 п эти величины образуют арифметическую про �
1
гресСllЮ, то 5 2 = "2 (3 + S \) и, следовательно,
5
3 + SKGD + 25 ЕнJ = З + KGD,
откуда 5ЕНЕ = О, что невозможно.
271