Page 269 - 1975_matematika-izium

В треугольнике КВМ против большего угла должна лежать БОJJЬ­
шая сторона, а потому КВ < КМ = АЕ.
Теперь обратимся к треугольникам ЕВА и КАВ. У них АВ об-
1 1
щая, АК = ЕВ и L ЕВА = 2 L В < 2 L А = L КАВ по предпо-
ложению. Из теоремы косинусов (и.qи непосредственно геометриче­
ским рассуждением) выводим, что АЕ < КВ.
62. Это красивое рассуждение неверно: считая обруч неподвиж­
ным, мы совершаем неэквивалеllТIlУЮ подмену задачи. Верное эле­
ментарное решение мне неизвестно.
63. Из этого рассуждения следует лишь, что множество точек
пересеченпя изучаемых крпвых переходит в себя при повороте на
450; но это отнюдь не значит, что оно непусто или не содержит бо­
лее 8 то'[(К (любое ЧllС.10, кратное 8, и.'lи даже бесконечное число) .
Поэтому придется решить задачу без «изюмннки». ПО.JIaгая х =
2
2
= cos ЧJ, у = sin q> (что возможно, поскольку х + у = 1 ) и под­
ставляя в уравнение КРIlВОЙ, мы пос.�е упрощеНIlЙ придем к уравне­
нию
4 cos 4ч> + k sin 4ч> = О,
которое имеет решение
:rt
ер = 6 + "8 (2n + 1 )
4
( где 6 находится и з соотношений cos 46 = -У1 6 + k 2 ' siп 4б =
k
= = O , I , . . .
v'
-16 + k 2 ; n . 7}
65. Докажем эту красивую теорему. Для произвольного про­
стого (с граиицей, состоящей из одного контура) lIIНОГОУГОЛЫlИка F
с вершинами в узлах решетки будем обозначать:
С(Р) - число узлов решетки, попаВШIIХ внутрь Р,
Ь (Р) - число узлов решетки, попавших на границу Р,
1
m ( Р) = с ( Р) + "2 Ь ( Р) - 1.
Если F разбивается на два простых многоугольника Р, и Р2
ломаной L, вершины которой лежат в узлах решетки (рис. З), 11
если 1 - общее ЧIIС.'lО узлов на L (на звеньях L могут быть узлы и
кроме ее вершин), то
с (Р) = с (Р 1) + с (Р2 ) + (1 - 2)

(концы L СЧllтать не нужно) ,
Ь (Р) = Ь (Р [ ) + ь (Р 2) - 1 - (l - 2),
и потоыу
I
т (Р) = С (Р 1 ) + с (Р2) + (1 - 2) + 2 [Ь (Р 1 ) + Ь(Р ) - 1 - (l - 2)] -
2
- 1 = [C ( F1) + � b ( F1) - ] +[С ( F2) + � b (P2) - I] �
I
= m (Р [) + т (Р2). -
272