Page 267 - 1975_matematika-izium

Вычитая в этой системе ." юбое уравнеяие ИЗ последующего, мы по.
лучаем одно и то же, а именно

Поэтому все уравнения рассматриваемой системы, начиная с треть­
его, получаются комбинацией первых двух уравнений или же урав­
нений Сllстемы
о · ХI + 1 . Х2 + . . . + (n - 1 ) ХN = n
(2)
Хl + Х2 + . . . + ХN = 1.
Поэтому при n ;;;;. 3 уравиения нашей системы деЙствите.%ио зави­
CJlMbJ. Этого, однако, еще мало для того, чтобы сделать вывод о не­
единственности решения: вообще говоря, система могла бы ока­
заться еще и несовместной, но эта возможиость исключается заяв­
лением Великого Математика о существоваиии решеиия. [Читатели,
ие знакомые с общей теорией линейных уравнении, могут непосред­
ственно проверить, что Сllстема (2) при n ;;;;. 3 деиствительно имеет
бесконечно МНого решений
Хl = 1 - n + С, Х:г = n - 2С, Хз = С , Х4 = о • • = Хn = 0,

где С - произвольное число; все эти решения являются также и ре­
шеннями системы ( 1 ) . ] Таким образом, n = 2, Х2 = 2 и Х1 = -1 в
силу (2) .
56. См. выше признак .делимости на Ь + 1 , где Ь - основанпе
системы СЧИС.'Iения.
6 1 . Выведем эти формулы, тем более что они используются да­
лее в задаче 278. Проведеlll в треУГО.1ьннке АВС биссектрису АЕ 11
высоту АН (рис. 1 ) . Поскольку биссектриса делит противоположную
А

B '-------------��--� c Рис. [.
Е Н
сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам,
ВЕ : ЕС = АВ : АС = с : Ь ,
8 потому
ас аЬ
ВЕ = ' ЕС = Ь +
Ь + с с '
270