Page 266 - 1975_matematika-izium

53. Проведем это рассуждение «по всем правилам». Обозначим
через РhI вероятность события, состоящего в том, что после k бро­
саний сумма равнялась N - i, а через РАjj - вероятность того, что
произошло предыдущее событие и вместе с тем ПРII (k + 1 ) -м бро­
сан ии выпало i очков. Пос к ольку каж д ое бросание производи т ся H�­
зависимо от предыдущих и все шесть исходов равновеРОЯТIIЫ,
1
= Отсюда l'Iаходим вероятность Р . того , ч то предно
Pki/ 6' Pk/- -
С.чедняя сумма равна N - i:
5 - i "
=
Pki/ - 6- f....J Pkl
k=O /=1 + I k=O
(события, вероятности которых здесь суммируются, несовместны
между собой, и (k + I) - e бросание будет пос.qедним, если i > i).
С другой стороны, вероятность Q, того, что последняя сумма будет
N + 1, равна
00 4 00 5- 1 5-1 со 5-1
Q = = = '
I I I Pk/ (l+{) = I i-I Pk i I � I P kl I 5 � i
k=() /=) k=O I=З 1=0 k=) l=�
И так,
РО + Р2 РЗ
l
Q = + !2.. + + Р.
5 4 3 2 '
!:..! + Р2 + РЗ
2
РО +
Q = 5 4 3 l '
= РО !:..! + Р2
Q з 5 + 4 3 '
РО Р!
+
Q =
4 T T'
РО
Q6 = ., .
i)
Отсюда ВIIДНО, что Q\ действительно имеет наибольш ую в�оят­
ность, если только Р4 > О. Это действительно так, если N � 4. Если
же N � 3, то Р; = о при i � N, а зна ч ит , некоторые Qr равны ме­
жду собой.
54. Читате.qи, не привыкшие к свойственной Великому Матема­
TJlKY манере изъясняться, возможно, как и Бедняжка, окажутся в
затруднении прежде всего потому, что не смогут правильно наШI­
сать систему, о которой идет речь. Вот она:
а
ах! + (а + d) Х2 + (а + 2d) Хз + . . . + [а + (n - 1 ) d] хn = + nd
(а + nd + d) Х! + (а + nd + 2d) Х2 + . . . + (а + nd + nd)Хn =
= a + n d + n d + d
( 1 )
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(а + n (n + 1) d] Х! + _ . . + [а + n (n + I ) d + (n - 1 ) d]xn =
= а + [(n + 1)2 - 1] d.
269