Page 261 - 1975_matematika-izium
P. 261

1.  Системы  счиc:.nеНI{Я  и  признаки  делимости
          Задав  натуральное  чиc:.nо  Ь  (основание  системы  СЧllсления) ,   мы
       можем  l<аждое  натуральное  чис.10  N  предстаВIIТЬ  единственным  об­
      разом  в  виде     k       k
                  N  =  a k b +  a  k_lb - l +     •  •  •    +  a  1 b +  a " ,    :(1 )

      где  каждое  а;  равно  одному  из  чисел  О,  1,   . • .  ,  Ь - 1 .   Такое  ЧIIСЛО
       записывается  в  виде
                                    •  • •  a 1 ao '
                           akak_1  • • •
          В  десятичной  системе  счиc:.nения  общеизвестен  nrlli311aK  де.lIIМО­
      сти  на  9  If  менее  известен  признак  де.1ИМОСТИ  на  1 1   В  системе  СЧIIС­
      ления  с  основанием Ь  также  имеются  эти  два  призuака.
          а.  Для  того  чтобы  число  N  делилось  на  Ь - 1,  необходuлlO  11
      дGстаТОЧ1l.0,  чтобы  сумма  цифр  его  b-иЧ1l.0Й  записи   делuлась  на
      b -  I.
          В  самом  деле,  используя  (1) ,   находим
      N  -  ( ao +   •  .  .    +  a k ) =  a k (b - k  l ) +     •  •  •    +  a 2 ( b2 -  I ) + а, (Ь - I ) .
          посI<олы<y
                   b' -  l = (b -  l ) ( b'-I +    . . .   +  Ь  +  l ) ,
      разность  N  - (йо + . . .   + аА)  делится  иа  Ь - 1,  а   тогда   оба  ЧIIС.1а
      N  и  ао + . . .   + ah  делятся  на  Ь - 1  ИЛII  нет  одновременно.
          б.  Для  того  чтобы  число  N  делилось  на Ь + 1,  н.еобхоrJu !/о  11  до­
      статочно,  чтобы  разность  J,fежду  суммами  цифр,  СТО!/ЩIlХ  в  его
      b-иЧ1l.0Й  записи  на  четных  и  нечетных  местах,  делилаС/J  на  Ь + 1.
          В  самом  де.'1е,
                  N  -  (ao - al +  а 2 -  •  •  •    +  ( -  I )  k  ak) =
             =  а l (Ь + 1 )   + а2 (Ь2  - 1 )   +   .  .  .    + ak  ( b k - ( _  I )k).
      Остается  заметить,  что
              b2n+ l +  l = (b +  l ) ( b2n _  b �n- l +  • .  .    -  Ь  +  l ) ,
           b�n - 1  =  (Ь +  1 ) (Ь  - 1 )   (b�n-? + ь2n-4 +  . . .   + ь2 +  1)
      и  остальиое  де.qается,  l<ак  в  c:.nучае  а.
                        2.  Арифметика  остатков
          В  оригинале  I<ННГИ  Тригга  и  особенно  в  допо.qНlIте,lЬНЫХ  зала­
      чах  часто  используются  сравнения  mod Ь.  При  работе  над  перево,
      дом  я  старался  заменить  соответствующие  места  "епосредствен­
       нымн  рассуждениями  с  остатками  от  дмения  на  Ь.  ОСIIОВНое,  что
      здесь  надо  знать,  сводится  1<  следующему.  ЕСЛII  N  I1  N'  имеют  пр"
      де. 1еНИII  на  Ь  остатки  r и  г',  то  есть
                      N  =  k b  +  r ,   N' = k'b +  r ',
       то  числа  N + N',  N - N'.  NN'  11  Nm  имеют  пр"  !lС.1еIl l Ш  на  Ь  те  же
       остатки,' что
                                       '
                         г + ".  г -  г ',   гг ,   гrtl
       СООтветствеНlIО.
      264
   256   257   258   259   260   261   262   263   264   265   266