Page 265 - 1975_matematika-izium

Решая это уравнеllие, находим
х = 15у - 40 + -V< 15у - 40) 2 + 600у =
2
15у - 40 + -V225y2 - 6ООу + 1600
=
2
(знак «-» перед радика.10М приводит к отрицательному значеНIIIО
х). Для того чтобы х было целым, НУЖIIО, чтобы радикал бы.!)
целым числом, а подкоренное выражение - полным квадратом. Вы­
де.1ИВ множитель 25, мы приходим к равеиству
2
2
9у - 24 + 64 =(Зу - 4) + 48 = n2,
у
откуда
(n - Зу + 4) (n + Зу - 4) = 48.
Раскладывая 48 на два множителя всевозможными способаыи
и учитывая, что у должно быть натуральным числом, находнм два
решения: у = 1 и У = 5. Первое Lовпадает с авторским, а второе
дает х = 50. Первоначально девушка купила 50 роз за 5 долларов
(1 доллар 20 центов за дюжину) , а предложенная продавцом це­
на - 60 роз за 2 доллара (40 центов за ДЮЖf:НУ), что соглаGУСТСЯ
с условиями задачи.
41. Неравенство
Х 1 + Х2 + . • . + х n .",-- - -
-= '-'- --' ::.......; n _ --'----':.. >= 'v х 1 Х 2 • , , х n
_

(ХI � О) хорошо известно, но здесь используется менее популярный
факт: среднее арифметическое равно среднему reометрическому,
если только все ХI равны между собой. Докажем это, считая, как
в тексте, что оба средних равны 1 (этого всегда можно добиться,
разделив все х, на одно и то же число) .
Если не все Х; равны между собой, то среди них есть и такой,
который меньше 1, пусть, например, это будет Х1 . Положим =
q
n-I
= -VX1'
61 = 1 , �2 = QX2, , . " 6n = qxn,
Тогда
n
n - (� 1 + " , + �n) = n - 1 - q (Х2 + , . , + х ) =
= n - 1 - Q n - ц '1-1).
,
(
n
n - 1 - nq + q = ( 1 - q) [n - (1 + q + . . . + q n- I )] > О.
Поэтому
61 + . . . + � n " � - --::--
.
n
...:е.....:-_ _ =-..:..:..:.... < 1 = -VS1�2 . , �n '
что противоречиво.
52. Эта задача (вернее, ее ключевое место - правило располо­
жения плиток) извеСТНiJ многим ПОКО.�ениям студентов, так как она
l1ыёется в «Сборнике З� '{ач .. по те()ретнчеСI(оi1 механике» и. В. Ме­
щерского (М., ГИТТЛ, 1954, изд. 20-е; l-е издание вышло в
1914 году).
268