Page 263 - 1975_matematika-izium

5. Принцип Дирихnе
«EC.1Il в четыре кдетки посадить пять зайцев, то по крайней
мере в одной клетке будут cllДeTb не менее двух зайцеВ».
И.�и: невозможно установить взаимно однозначное соответствие
между Э.�ементами двух конечных множеств, если эти множества
содержат разное число элементов.
Задачи на принцип дИРllхле очень популярны. В качестве при­
мера его ИСПО.�ьэования я приведу доказательство так называемой
«м адой теоремы Ферма», тем бо.�ее, что у Тригга есть на нее
ссьmКIl.
Если р - простое число, то при любом цеЛО},1 а разность аР - а
делится на р.
Утверждеппе очевидно, если а делится на р. Ес.�и же это не
. , (р - 1) а « < зайцев») дает
так, то каждое IIЗ р - I чисел а, 2а, • .
при де.�ении на р ненулевой остаток:
а = klP + r l,
=
2а k 2P + r2,
(2)
(р - 1 ) а = kp- 1 P + rp-l.
Если ЧIIС.'Ю различных встречаЮЩIlХСЯ здесь остатков (<<клеток»)
меньше р - 1, то среди них найдутся по крайней мере два одина­
ковых (<<в клетке по крайней мере два зайца») . Но это невозможно,
Так как г'ри rn = rm число (n - m ) а = (kn - k m)p делится на р,
что противоречиво, ибо I n - т 1 < р и а взаимно просто с р. Зllа­
, rp-l между собой различны и образуют пе­
чит, все остатки rl, • • .
рестановку чисел 1, 2, . . . , Р - 1 . Перемножая все равенства (2) ,
получаем
(р - 1 ) 1 ар-1 = N · р + rlr ' " rp-l = Np + (р - 1 ) 1.
2
Следовате.'1ЬНО, (р - 1 ) I(aP-1 - 1 ) делится на р, а тогда ap-1 - 1
11 аР - а делятся на р.

* * *
в оставшейся чаСТII выделенные цнфры означают номера тех
задач иди их решеюtи, которые коммеИТllРУЮТСЯ.
2, Рассуждение можно завершить еще и так: •.. значит,
SCHB S AHC SABC
- - 2 - = - Ь - 2 - = � ,
а
поскольку п.�ощади подобных фигур относятся как квадраты соот­
ветствующих линейных Э.�ементов. Но SABC = SCHB + S A H C и,
следовательно, с2 = а2 + Ь2 (Д. П о й а, Математика и правдоподоб­
ные рассуждения, М., ИЛ, 1 9 57, стр. 35-36) .
3. Это рассуждение некорректно В самом деде, число раз.1ИЧ­
ных решений системы уравнений може1 быть больше, чем произве­
дение степеней уравнении системы (напрймер, одно из уравнений
системы может быть следствием остадьных, н тогда, вообще ГОВОрЯ,
одному 1Iз неизвестных можно придавать производьные значения).
266