Page 259 - 1975_matematika-izium

11. Пусть W, Н и С - число I<OHBepToB, а W2, Н2 и С2_
число долларов, полученных соответственно женой, му­
жем и ребенком одной из семен. Тогда
w2 - lf2 = Н2 - C�, или w2 + С2 = 2Н2.
Положим W = х + у, а С = х - У, в то время как
х 2 + у2 = Н2. Примитивные решения последнего уравне ­
ния задаются следующим образом:
х = т2 - n\ у = 2тn, Н = т2 + n2,
где т и n - числа р а зной четности, т > n и (т, n) = 1 .
Отсюда следует, что
W = т� + 2тn + n2,
n
С = m 2 - 2 т - n 2,
и число конвертов, полученных каждой семьей, равно
N = W + с + Н = 3т2 - n2•
Поскольку ни один из наследников не стал миллионе­
ром, ни одна из величин С, Н, W не может превзойти 999,
так что N � 2997.
Из таблицы пифагоровых треугольников t мы немед­
ленно н а ходим значения W, С и Н. Н а пример, триплет
(х, у, Н) = (3, 4, 5) дает ( W , С, Н) = (7. 1 , 5) . Таким об­
р а зом мы можем выписать 128 примитивных решений,
для которых N � 2997, а С, Н, W не п р евосходят 999.
Поскольку в этом м н ожестве значения N не повторяются,
если решение существует, то по крайней мере два зна­
чения N получаются из примитивных решений. Послед­
пий этап п а шей работы состоит в проверке различных
групп из трех решений, удовлетворяют ли они уc.rювию,
что сумма, полученная совместно миссис Джонс и м и с­
сис Смит, равна сумме, полученной совместно м и ссис
Уайт и мистером Джонсом. П р и этом мы н а ходим сле­
дующее решение данной задачи:

Джоне Смит Уайт Джоне Смит Уайт
W 607 663 777 W2 368 449 439 569 603 729
Н 493 507 555 Н 2 243 049 257 049 308 025
С 343 273 1 \ 1 С2 1 1 7 6 49 74 529 12 321
1 4 43 1 4 43 1 4 43 729 147 771 147 924 075
,Ф. М и I< С а, М. М., 4 1 , 293 (Мау 1 9 68) .]
.
I То ееть прямоугольных треУГОДЫIIIКОВ с целыми сторонами. -
ЛРIIМ. пе р ев.
2G2