Page 254 - 1975_matematika-izium

Рассмотрим семейство кривых, определяемых усло-
вием
АР + РВ = k (константа).
Этими кривыми будут эллипсы с фокусами в точках А
и В. Очевидно, что величина k принимает минимальное
значение для наименьшего эллипса из этого семейства,
касающегося нашей кривой. Точка (или точки) касания
и будет искомой точкой Р. Поскольку фокальные ра­
диусы, проведенные в точку касания, образуют с каса­
тельной к эллипсу р а вные углы, выполняется закон от­
ражения. Аналогично величина А Р + РВ достигает мак­
симума на наи�ольшеl\I эллипсе из данного семейства,
касающемся нашей кривой.
Обратную теорему также не трудно доказать. Если
отреЗI<И АР и РВ образуют равные углы с заданной I<РИ­
вой, то эллипс, проходящий через точку Р, фокусы кото­
рого а сположены в точках А и В, обяз н касаться этой
р
а
I<РИВОЙ в точке Р. Такой эллипс будет локально распо­
ложен либо с внутренней стороны данной кривой, либо
с ее внешней стороны. В первом случае величина Р +ВР
А
будет достигать своего лока"lЫIOГО минимума, а во вто­
ром - ЛОI<ального м а ксимума *.
[М. К . '1 а м к и н , М. М., 1 , 285 (Мау 1 9 68) .]
4
а
392. 1 . Проведем через точку О прямую ЕР, котор я
н е проходит н и через какую и з вершин данного четы­
рехугольника. Возьмем на стороне, содержащей Е, две
ТОЧ1<II, равноотстоящне от Е, и проведем через них и
точку О еще две прямые. Эти две прямые пересекут сто­
рону, на которой р а сположена ТОЧI<а Р, в двух ТОЧI<ах,
р а вноотстоящих от Р, так как каждая из этих прямых
делит периметр пополам. Поскольку три точки н а одной
из сторон получаются из трех точек. лежащих на другой
стороне, с помощью центра" Ь НОГО проектирования, дан­
l
ные две стороны параллельны между собой. Это же вер­
но и для другой пары сторон. Таким образом. четырех­
угольник ABCD - параллелограмм.

[М. Г о л Д б е р г, М. М., 41, 287 (Мау 1 9 68) .]
1 1 . Мы рассмотрим более общую задачу, в которой
вместо четырехугольника берется замкнутая кривая,
звездная относительно фИI<сированной ТОЧIШ О, и для
9 Зак. 753 257