Page 250 - 1975_matematika-izium

точках А, В, С к окружности, описанной около треуголь­
ника АВС, которые параллельны сторон м треугольника
а
А'В'С'. Таким образом, мы требуем, чтобы выполнялись
равенства А = С', В = А', С = В'.

А k-----i----;/B

А'
Рассматривая циклические I четырехугольники АА'СС'
и С'СВ'В и замечая. что высоты треугольника АВС де­
лят внутренние углы высотного треУГОЛЬНИI{а пополам,
А
мы находим, что В = ' = 2А, С = В' = 2В 11 С = 2В=
21t
.
= 4А. Отсюда следует, что А = 7" n ' В = Т и С = т 4n .
Если исходный тупоугольный треугольник является
еще и равнобедренным, то задача не и м еет решения, по­
скольку при С > В = А мы получаем п р отиворечивую
цепочку равенств
А = в = А' = В' = 2А = 2В.

Следовательно, полученное выше решение единственно.
Легко показать, что среди остроугольных треугольни­
ков единственным треУГОЛЬНИКОl\l, подобным своему вы­
СОТНОЫУ, будет равносторонний треугольник.
4
[Л. Б э н к о ф , М. М., 1 , 21 9 (Аргil 1 9 68) .]
386. Рассмотрим тетраэдр, у которого все плоские
углы при одной из вершин прямые, а ребра, выходящие
из этой вершины, равны соответственно а, Ь и с. Осталь-
н ы е три ребра тетраэдра равны cooTBeTcTBeIlHo.y' а2 + Ь2 •
.у' Ь2 + с2 И .у' с2 + а2• Поскольку су мы а квадратов
площадей тех граней, которые прнлегают к данной вер-

1 См. ЛРlIмечаНllе Шl сТр. 76. - ПРLlд. neрев.
253