Page 249 - 1975_matematika-izium

рен ОБ, а ра - перпендикулярен ОС. Тогда r.,IЫ получим
два остроугольных равнобедренных треугольника BDE и
рас. Все углы пятиугольника A D EFG тупые. Проведем
отрезки ОА, OD, ОЕ, ор, оа, которые разделят эти
углы пополам и р а зобьют пятиугольник на 5 треуголь­
ников. Центральные углы в точке О все острые, посколь­
ку каждый из других углов полученных п я ти треуголь­
ников больше 450. Следовательно, все п я ть треугольни­
ков остроугольны.
4
[М. Г о л д б е р г , М. М., 1 , 1 6 5 (March 1968) .]
383. Пусть al, а2, . . , аn - последовательные сторо­
.
ны нашего многоугольника и пусть х - отреЗОI{ al, рас­
положенный между первой вершиной и точкой касания.
В ы разим через х каждый последующий отрезок,. располо­
женный между вершиной и точкой касания. Последний
отрезок стороны а n равен первому отрезку стороны al.
Поэтому
или

Следовательно, длина х рациональна. ПОСI\ОЛЬКУ те же
л
рассуждения проходят и для ю бого другого отрезка, мы
получаем требуемое утверждение.
[Н. Х а р р е л л, М. М., 4 1 , 224 (April 1968) .]
384. N = 3 nп! = 3 n · ! · 2· 3· . . n = 3 · 6 · 9 . . · (Зп) . В про­
. .
шведении (3n) ! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · сомножители, кратные
трем, разделены парами соседних целых чисел, из кото­
рых одно четное. Поэтому число (3n) ! , !<роме N, содер­
ж и т еще n четных сомножителей. Следовательно, число
(Зn)! (Зn)!
<;!IN = бnn!
будет целым.
[Ч. Т р и г г , М. М., 4 1 , 224 (АргН 1 9 68) .]
385. Возьмем тупоуголыIйй треугольник А В С, у ко­
А
торого углы подчинены условию С > В > . Обозначим
через А ' , В', С' проекuии точек А, В , С соответственно
на ВС, АС и А В . В треуго.1ьюше А ' В'С' дЛЯ углов вы­
полняются соотношения В' > А' > С', которые можно
установить, рассматривая касательные, проведенные в

252