Page 246 - 1975_matematika-izium

ных целых числа , сумма которых равнял ась бы 26 и
сумма квадратов которых равнялась бы 676 · 2 = 338.
Пусть х, у, z - диаметры лепешек. Тогда
х + у + z . = 2 6,
х2 + у2 + z2 = 338:
и, значит,
х2 + у2 + Z 2 = ( х + � + Z) 2 •
Это приводит К дио.фантову уравнению:
2
х + y 2 + z 2 - 2xy - 2xz - 2yz = 0 ,
или
(х - у - Z)2 = 4yz.
Следовательно, yz является полным квадратом, откуда
2
у = k2m, z = 1 т для пеI<ОТОРЫХ целых k, 1, т и
х - у - z = ± 2klm,
х = m ( k ± I)2,
а значит,
2 · 1 3 = 2 6 = m [(k ± I )2 + k 2 + ( 2],
2 . 1 3 2 = 3 38 = m2 [(k ± l )4 + k4 + l4J,
Отсюда т = 1 или 1 3 . Прямой проверкой убеждаемся,
что второе невозможно. Остается наЙТlI три различных
квадрата, в сумме дающих 26. Единственные числа , удов­
летворяющие этому условию, суть 1 , 9, 1 6 .
[А. Б р у с с о , М. М., 4 1 , 1 0 0 (Februa r y 1 9 68) .]
379. Пусть радиус Земли Е р а вен R, а радиус Лу­
ны М равен r (см. рисунок) . Поскольку из любой точ-

249