Page 243 - 1975_matematika-izium

1
37 . Таких четырехугольников существует бесконечно
много. Обозначим заданные окружности через C , С2, Сз
1
И С •. Построим на плоскости произвольный uикличеСI<ИЙ
четырехугольник со сторонами SI, S2, S3 И s,.. З а тем про­
ведем прямую ti, параллельную Sj и касающуюся Ci,
i = 1 , 2, 3, 4. Тогда четырехугольник со сторонами ti бу ­
дет циклическим, поскольку сумма двух его противопо­
ложных углов равна 1 8 0°, а его (тороны будут касаться
четырех а данных окружностей.
з
[с. Р а б и н о в и ч , М. М., 4 1 , 45 (January 1968) .]
372. Обозначим иентр круга через Р, и пусть А С и
а
8D - Д13е вз и мно перпендикулярные хорды, проходя­
щие через точку о. Пусть, далее, ОР = а и е - угол ме­
жду 8D и ОР. Тогда справедливы следующие соотно­
шения:

2"" . / , 2 - a2 cos2 8 ,
АС =
"У
-У , 2 - а2 cos2 8 - а sin 8,
А О =
-У
А 02 = ,2 - а2 cos2 8 + а2 sin? 8 - 2а sin 8 , 2 - а2 cos2 8,
= -У
СО , 2 - а2 cos2 8 + а sin 8,
-У
2
С0 2 = , - а2 cos2 8 + а2 sin2 8 + 2а sin е , 2 - а2 cos2 8,

Аналогично

,
802 + D02 = 2 2 - 2а2 sin� 8 + 2а2 cos2 8 ,

и потому
А02 + 802 + С02 + D02 = , 2,
4
где , - радиус нашего круга.
Последняя сумма не зависит ни от А, ни от 8. Следо­
вательно, если хорду, проходящую через точку О, повер­
нуть на угол qJ, то при этом «заметется» площадь, равная

2·16