Page 240 - 1975_matematika-izium

2
время к а к 2 ( 2 (2'» = 1 6. с. '1едовательно. N4 = 2. Выра-
жения вроде
2)
2
(2
2)
2
(2
не допускаются, поскольку в них скобки не вложеНhI друг
в друга. Поэтому каждую новую двойку можно добавить
только к вершине или к основанию «лесеНlШ» меньшего
порядка.
При n = 5 мы получим
16 2 = 32
2
4
(256)2 = ( 28) 2 = 16; (2 ) 2 ; 2256; 2 (216) И N = .
5
При больших значениях 11 числа, полученные добав­
лением ДВОЙКII к вершине «лесенки», гораздо меньше тех
чисел, которые получаются добавлением двойки к осно­
n
ванию «лесенки» *. Таким образом, N +l = 2Nn, И.'1lI
(
N n = 2 n- З) при n = 3, 4, 5 . . .
[М. Г о л д б е р г , А . М. М., 77, 525 (Мау 1 9 70) .)
365. 1 . Пусть f ( х) = х'/Х• Легко показать, что j (х) - О
при х - о, f (х) - 1 при х - 00 , f возрастает, когда х
изменяется от О до е, и f убывает, когда х изменяется
от е до 00 *. Следовательно, максимальное значение, С,
величин f (k), где k = 1, 2, . . . , равно тах (f (2), f (3».
"
2
3
Поскольку 3 > 2 , f (3) > f (2), откуда С = 3 1 '. Тогда
f ( m )� з / l . для всех положительных целых m. Е с ли n� m,
то mlln� m'lm �зl/,; следовательно, min (m'/n, nlim)� зl ••
[Д. Л и н д, А . М М . ., 77, 768 (July 1 9 70) .]
11. Предположим сначала, что т = n; тогда нам ну-
n
жно доказать, что -Уn � 1/3. или что Зn ;:::: nз. Но по­
следнее неравенство легко доказать при n ;:::: 1 с ПО�lOщью
математической индукции. Действительно,
З
зn � З n+1 � 3n =
n 9 з
= n 3 + 3n2 + 3n + (n - 3) n2 + (n2 - 3) n.
243