Page 237 - 1975_matematika-izium

щиеся в точке Р. При этом А Р = -V 2(АВ) . Проведем
дуги В (АР) и Е (АР) , пересекающиеся в точке а, которая
лежит на окружности А (АВ) . Если А и В - смежные
веРШИIIЫ ИСI\оМОГО квадрата, то G представляет собой
его третью �ершипу. При этом четвертой вершиной Н
служит ТОЧi{а пересечепин дуг G (АВ ) и В (АВ ) .
Если же А и В - противоположные вершины искомого
квадрата, то найдем точку L, которая получается из точ­
ки F с помощью инверсии относительно окружности
А (АВ ) . Длн этого мы спача.'1а проведем дугу ( АР) , ко­
Р
торая пересечет А (АВ ) в точках J 11 К, а затем проведем
дуги J (АI) и К (АК) , пересекающиеся в нужной точке L.
Тогда AL = A B /-V"2. С.1едовательно, другими вершинами
М и N ИСI{ОМОГО квадрата будут точки пересечения дуг
A ( AL) и B ( AL) .
)
[М .. Г о л д б е р г , М М . ., 45, 290 (Мау 1 9 72 . ]
359. Пусть G - центр тяжести, / - центр вписанной
окружности. S - площадь, ha и ht> - высоты, опущенные
соотвеТСтвенно на стороны а н Ь в треугольнике АВС.
Обозначим через Р и Q точки пересечения п р ямой а/
соответственно со сторонами В С и СА. Поскольку cYII.fMa
площадей треугольников арс и aQc совпадает с анало­
гпчной суммой для треугольников [РС и IQC и СР = CQ,
I I
мы находим, что 3" ha + 3" hb = 2г. Требуемое равенство
получится теперь немедленно из соотношении
2S 2S 2S
ha = а ' hb = Ь и r = а + ь + •
с
[Ф. Л е й е н б е р г е р , А . М . М., 77, 80 (January 1 9 70) .]
360. },1ы можем считать без ограничения общности,
что центр м н огоугольника попадает внутрь некоторого
Iшадрата в точку. которая находится на расстояюlИ 1 от
ближайшей к нему стороны этого квадрата. Опустим пер­
пендикуляр из центра нашего многоугольника на эту сто­
рону и рассмотрим углы, образованные этим перпендику­
ляром и «радиусами» (то есть ПРЯ!\IЫМИ, соединяющими
центр с вершинами) многоугольника. Один из таких
углов. наименьший по абсолютной величине, обозначим
через 8. Вершина, лежащая на соответствующем «ра­
диусе», расположена ближе всех к данной стороне, по­
скольку расстояние от нее до этой стороны равно l-cos е,
240