Page 233 - 1975_matematika-izium
P. 233

352.  Функция у = loga х  (а > О, а =1=  1 ,   х  >    О)  обрат­
      на  к  функции у = аХ.  В  силу СИМ\I.fетрии  их  г р афиков от­
      носительно  прямой  у = х  м ы   заключаем,  что  в  случае
       касания  оба графика либо  касаются  прямой у = х,  либо
       перпендикулярны ей. Следовательно, в точке касания вы­
      полняются соотношения
                     у' =  а Х \  п  а  =  +    1 ,    х =  а Х.
       Решени м и   этих уравнении  будут  соответственно а = e 1/e
              я
       (х = е)  для  знака  «+»  и  а-е  (х = е-1)  для  знака  «-».
      Таким  образом,  график  у = аХ  касается  графика  у =
       .= \oga х  при а = e 1 /e  и  а =  е-е.
                 [В. К о н е ч н ы й,  М. М., 45,  234  (МагсЬ  1 9 72) .]
          353.  Если бы  центры  равностороннего треугольника и
       описанного  около  него  эллипса  совпадали,  эллипс  и  OI{­
       ружность,  описанная  около  данного  треугольника,  ока­
       з а лись БL! концентрическими. Следовательно, четыре точ­
       ки  пересечения  эллипса  и  окружности  служили  бы  вер­
      шинами не которого прямоугольника. ПОСКО.'lьку вершины
       р а вностороннего треугольника  не  могут  быть  тремя  вер­
       шинами  ни  для  какого  прямоугольника,  исходное  пред­
       положение ложно.
          Аналогичное  допущение  относительно  вписанного  эл­
       липса  означало  бы, что каждая  хорда, соединяющая точ­
       ки  касания,  делилась  бы  пополам  биссектрисой  соответ­
       ствующего  внутреннего  угла  треугольника.  Однако  по­
      следнее  возможно  только  в  случае,  если  каждая  вер­
       шина треугольника лежит на  продолжении одной из глав­
       н ы х осей эллипса. Но две вершины описанного треуголь­
       ника не  могут  лежать  на  одной  прямой,  проходящей  че­
       рез  центр  эллипса.  Следовательно,  в  правильный  тре­
       угольник  нельзя  вписать  эллипс,  центр  которого  совпа­
       дал БL! с центром данного треугольника.
                   [л.  Б э н к о ф,  М. М.,  45,  236  (МагсЬ  1 9 72) .]
          354.  Докажем  более сильный  е зультат. Для этого за­
                                       р
       метим,  что  число  (a -  2 ) (а - l ) а ( а + I ) (а +  2 )  пред­
       ставляет  собой  п р оизведение  пяти  последовательных  це­
       л ы х  чисел,  так  что  одно  из  них  делится  на  3  и  одно  де­
       Л I IТСЯ н а   5. Если а - 1  и а +  1 - п р остые числа, то а - 2,
       а,  а + 2 - последовательные  четные  числа,  так  что  по
       I{р а й ней мере одно  из  пих делится  на  4, а  два  остальных
       на  2.  Следовательно,  произведение  трех  целых  чисел,
       236
   228   229   230   231   232   233   234   235   236   237   238