Page 233 - 1975_matematika-izium
P. 233
352. Функция у = loga х (а > О, а =1= 1 , х > О) обрат
на к функции у = аХ. В силу СИМ\I.fетрии их г р афиков от
носительно прямой у = х м ы заключаем, что в случае
касания оба графика либо касаются прямой у = х, либо
перпендикулярны ей. Следовательно, в точке касания вы
полняются соотношения
у' = а Х \ п а = + 1 , х = а Х.
Решени м и этих уравнении будут соответственно а = e 1/e
я
(х = е) для знака «+» и а-е (х = е-1) для знака «-».
Таким образом, график у = аХ касается графика у =
.= \oga х при а = e 1 /e и а = е-е.
[В. К о н е ч н ы й, М. М., 45, 234 (МагсЬ 1 9 72) .]
353. Если бы центры равностороннего треугольника и
описанного около него эллипса совпадали, эллипс и OI{
ружность, описанная около данного треугольника, ока
з а лись БL! концентрическими. Следовательно, четыре точ
ки пересечения эллипса и окружности служили бы вер
шинами не которого прямоугольника. ПОСКО.'lьку вершины
р а вностороннего треугольника не могут быть тремя вер
шинами ни для какого прямоугольника, исходное пред
положение ложно.
Аналогичное допущение относительно вписанного эл
липса означало бы, что каждая хорда, соединяющая точ
ки касания, делилась бы пополам биссектрисой соответ
ствующего внутреннего угла треугольника. Однако по
следнее возможно только в случае, если каждая вер
шина треугольника лежит на продолжении одной из глав
н ы х осей эллипса. Но две вершины описанного треуголь
ника не могут лежать на одной прямой, проходящей че
рез центр эллипса. Следовательно, в правильный тре
угольник нельзя вписать эллипс, центр которого совпа
дал БL! с центром данного треугольника.
[л. Б э н к о ф, М. М., 45, 236 (МагсЬ 1 9 72) .]
354. Докажем более сильный е зультат. Для этого за
р
метим, что число (a - 2 ) (а - l ) а ( а + I ) (а + 2 ) пред
ставляет собой п р оизведение пяти последовательных це
л ы х чисел, так что одно из них делится на 3 и одно де
Л I IТСЯ н а 5. Если а - 1 и а + 1 - п р остые числа, то а - 2,
а, а + 2 - последовательные четные числа, так что по
I{р а й ней мере одно из пих делится на 4, а два остальных
на 2. Следовательно, произведение трех целых чисел,
236