Page 230 - 1975_matematika-izium

Отметим п р ежде всего, что мы решили одно из двух
пепосредственных обобщений ИСХОДIIОЙ задачи. другое
ее обобщение получится, если мы заменим ус.повие п. 2
на условие п . 2', а именно:
2') у I<аждой ячейки ровно половина (то есть N) п р о­
стых граней должна быть п о крыта спичкаМ I I.
Мы можем пойти дадьше и заменить п . 2 на п. 2":
2") ровно r п р остых граней каждой ячейки должно
быть покрыто спичками, где r фиксироваlIО.
Необходимые и достаточные условия существования
такого покрытия должны теперь фОРМУ и р оваться в тер­
о1
м и нах У, N, т, 11, . . . , р.
Еще одно обобщение получится, если мы отбросим
требования, чтобы размерность спички равнял ась N - 1
п
и чтобы покрывались только р остые грани. Спичка р ед­
п
ставляет собой теперь М-мерный куб, конгруэптный М­
мерной грани каждой ячейки. Услов я соответственно
и
примут вид:
1 ) каждая сппчка покрывает М-мерную грань неко­
торой ячейки;
2) у каждой ячейки ровно { 2
2') половина, то есть
- '
2N-M Ct
2 ") У, при фиксированном r

М-мерных граней покрыто спичками и
З) нп одна из спичек не расположена па границе БЛОI{а.
Какие теперь нужно наложить неоБХОдlIмые и доста­
точные условия на r (в случае п . 2") , М, т, n, . . . , р,
чтобы нужное расположение спичек существоваJIO? Есте­
ственный ч а стный случай такого обобщения состоит в
том, что М = 1 , и спичка тем самым представляет собоii
единичный отрезок, ПОI<рывающий ребро ячейки.
[Т. у р е й , М. М., 45, 1 1 0 (Febrtl a r y 1 9 72) . ]
348. З а метим, что при О :::;; х :::;; 1
(f - А ) а - В) -- О
f """" •
П р оинтегрировав это равенство в пределах от О до 1 , м ы
и получим требуемое соотношение.
л
е
[Е. Ш м й х е ь , М. М., 45, 229 (March 1972) .]
233