Page 227 - 1975_matematika-izium

В частности, для центра вписанного к р уга Х. = Х 2=Х з = Г,
так что
� 2 _ 1 J... I
+ + __
r :;;-- У. У2 Уз •
2
"
1
В СJ учае равенства У/ = r и а/ = М /г2 равны между
собой. Таким образом, е с ли треУГОJ1ЫШК равносторонний,
то для всякой внутренней точки
+ _
1 1 1 1
_ 1_ + __ + _ _ 2 __ + _ I _ _ �
х '
. Х 2 ХЗ :;;-- у. У 2 УЗ - r
а если неравносторонний, то найдется ТОЧ1<а Q, дДЯ
которой
� > _1 + _1 + _1 = (1fli + 4(i; + --Jёi;) 2
r у. У2 уз 2S
[л. К а р .'1 И ц, М. М., 45, 107 (February 1 9 72) .]
Т
347. Вместо того чтобы решать исходную задачу, м ы
решим ее обобщение. которое фОРМУЮIруется следующим
образом.
Пусть задан N-мерный ПРЯМОУГОJ1ЬНЫЙ блок с целыми
сторонами т Х n Х . . . Х р . Разобьем его на V = тn . . . р
ячеек (единичных N-мерНbIх кубов) ГIшерплоскостямп,
параJ1лельными его простым, то есть N-мерНbIМ, граням.
Назовем «спичкой» единичный (N - 1 ) -мерный куб. Оче­
видно, что спичка конгруэнтна простой грани ячейки. Мы
хотим расположить спички на простых гранях ячеек так,
чтобы:
1 ) каждая спичка точно покрыва.'1а простую грань
какой-нибудь ячейки;
2) у каждой из ячеек ровно две простые грани БЫJНI
покрыты спичками и
3) ни одна из спичек не раСПО.'Iагалась на простых
гранях исходного блока.
Требуется найти необходимые и достаточные ус.'10ВИЯ
на N, т, n, . . . • р, при которых такая задача разрешима.
Мы утверждаем, что задача разрешима в том и только
в том случае. еСJIИ объем V нашего БЛОI<а четен и БЛОI{
состоит БОJ1ее чем из одного ряда ячеек (откуда следует,
в частности, что N � 2) . В терминах сторон т. n, . . . , р
эти условия означают, что ПОСJ1едовательность т, n • . . . • р
состоит по крайней мере из двух ч_,енов, что по крайней
мере одна из сторон четна и что по крайней мере две

230