Page 222 - 1975_matematika-izium

пательно, а > �. Отсюда, учитывая сказанное в ы ш е про
положение точки 1, мы получаем, что 1 лежит внутри
треугольника ОВН.
[М. Г Р и н и н г, М .. М., 44, 54 (February 1 9 72) .)
340. Предпо.пожим, что loge2 рационально. Очевидно,
loge 2 =1= О; СJIедовательно, loge 2 = p/q, где р и q - целые
числа, р > О, а q =1= О. Поэтому eP/Q = 2, ИJIИ еР = 2q.
Это означает, что е удовлетворяет уравнению xp-2Q = O ,
что невозможно, поскольку число е трансцендентно (то
есть не является корнем ни одного многочлена с рацио­
нальными коэффициента и ) *.
м
[Е. К л а р к, М. М., 45, 102 (February 1 9 72) .]
341 . Пусть d - н а ибольший общий делитель чисел
аn - 1 и аm - 1 . Тогда при некоторых целых k и r выпол­
няются равенства аn = kd + 1 , аm = rd - 1 . Следова-
тельно,
аmn = (аn)m = (kd + оm = td + 1
при некотором целом t, и
n
аm = (аm)n = (rd _ l )n = ud - 1
при некотором целом u (напомним, что n нечетно) .
Таким образом, td + l = u - l , или (u - t ) d = 2.
d
Отсюда следует, что d = 1 или d = 2.
a
[Э. Д ж а с т , М. М., 45, 1 0 2 (Febru r y 1 9 72) .)
342.
x ) =

= х +
ХЭ + �з ( �Y- 3 ( + �
) x
= (х+ � [( + � y - 3]= 0 .
[М. Д е м о с, М. М., 45, 102 (February 1 9 72) . ]
343. 1 . (Решение в десятичной системе.) Р а зыскивая
решение данной з а дачи, мы вспоминаем хорошо извест­
ную теорему а р ифметики, сог а сно которой, если мы вы­
л
деJIИМ в знаменателе степени двойки и пятерки, то остап­
шпйся сомножитель с является делителем числа 1 0 n - 1 ,
где n длина периода данной дроби.
Поскольку в нашем случ е n = 3, с должно быть де­
а
ШlТелем числа 999, а
999 = 33 · 37.
8 Зак.. 753 225