Page 224 - 1975_matematika-izium

э n - k оставшихся самцов м ы можем ( п осле того, lсак
первые k особей получат свои места) разместить среди
оставшихся т + n - х мест C';,.+ � -x способами. Следова­
TeJIbHO, вероятность f ( x) ТОГ9, что Xk = х, равна
C,,- C· .. -I<
1< - 1 .. т+ n-х
I
f (x) = ,
Ст+ n
х = k, k + 1 , . . . , k + т,
а искомое среднее значение ЧИСJlа Xh равно
"-+",
Е (X ) = L ,,' (х).
k
х="
ПО.10ЖИМ У = Х - k и рассмотрим сумму
"-+т т
k - 1
.. -k
� Cх - I C +n-х =
y+k m +
L.. Х т k � с" с.n-ц n-y-li .•
L..
х = " У=:)
Заметим, что C�H представляет собой коэффициент
при t" в раЗJюжении ( 1 - t)-k- ' по степеням t.
т
а C:+�-y-,. - коэффициент при , -у В разложеmш
n
k
( l - t)- +k-I. ПОСКО.1ЬКУ ( l - t)-k- ' ( 1 _ t -n + - ' =
)
n 2
= (1 - t)- - , наша сумма равна ЧIIСJ1У k, ум н оженному
n 2
на коэффициент при tm в раЗ.10жешш ( 1 - п- - . С.1едо-
вательно,
kC�+ + , k (111 + n + 1)
n
Е (Х ) = = .
р
С';,.+n n + 1
[Дж. Х и к м э н, М. М., 45, 1 0 6 (Fe r uary 1 9 72) . ]
'
b
345. Пусть гномон-магический квадрат имеет вид
а, Ь, с,
а2 Ь2 С2
а з bJ сз
В соотвеТСТВlI1I с опреде.1ением
а2 + Ь2 + аз + Ьз = аl + ы + а2 + Ь2 =
= ы + С, + Ь2 + С2 = Ь 2 + С2 + Ьз + сз.
I Фuрмулировка 9тоl\ задачи в нашем IIздании несколько изме­
иена; соответствующие изменения внесены также и в решение. ­
Пр uм. ред.
8* 227