Page 229 - 1975_matematika-izium

которую, м ы входим в очередную ячейку, а также самой
этой ячейке.
Возможны два СJlучая: либо при данном обходе м ы
в
побываем о всех ячейках нашего б.10ка, либо есть ячей­
ки, в которые мы не попадаеll·1 ни на каком шаге. Во вто­
ром С.1учае мы берем одну из этих «обде.1енных» ячеек
и устраиваем, начиная с нее, новый обход. Условие п. 2
гарантирует нам, что эти два обхода не пересекутся.
Каждый обход представляет собой замкнутый путь;
значит, он содержит СТО.1ЬКО же шагов в одном из 2N
основных напраВ.1ениЙ (то есть направлений, пара.1.1е.1Ь­
р
ных реб а м блока) , ско.1ько И В П Р ОТИВОПО.10ЖНОМ ему
направлении. Поэтому число шагов (а С.1едовательно,
спичек и ячеек) , участвующих в обходе, обязано быть
четны . Поскольку весь б.10К распадается на конечное
м
число не пересекающихся между собой обходов, общее
число V ячеек в блоке обязано быть четным. В СИ.1У
взаимно-однозначного соответСТВИЯ число спичек также
равно V. Тем самым мы завершит[ доказательство в
одну сторону.
Проведем его теперь в обратную сторону. Пусть � 2,
N
т четно, k = m/2 И n > 1 . Разобьем наш БЛОI{ на V/kn
плиток, каждая из которых имеет размеры 2ХnХ I Х . . .
.
. . Х I (2Хn, если N = 2) . Мы можем устроить обход
каждой П.1ИТКИ так, как показано на рисунке.

I r-t - l- � - �- I
'J
[

-
- _
- _ + _ _ _
_
_
- _
Пунктирная линия соединяет центры связанных ячеек
в данном обходе; спички располагаются на простых гра­
нях, пересекаемых пунктирной л и нией. данную фигуру
можно р а ссматривать как изображение 2 Х 5 ПЛИТКJI
2Х5Х 1 Х . . . Х , которое ПОЛУЧII.10СЬ при п р оектирова­
1
нии этой плитки на плоскость, перпендикулярную всем
ее единичным сторона м , ИШI (в силу второго замечания)
как []Литку, у которой удалены все единичные стороны.
Теперь, р а сположив «спички» в каждой из плиток, м ы
можем получить искомое расположение спичек, просто
сложив из этих плиток исходный блок. Таким образом,
мы 11О.1НОСТЬЮ за:uершили н а ш е доказательство.
232