Page 228 - 1975_matematika-izium
P. 228
стороны отличны ОТ 1 . Общее число нужных спичек рав
но V. Для исходной задаЧII о (\артонном квадрате все ЭТИ
УСJJOВИЯ ВЫПО,,'Jняются, если n четно (здесь N = 2) .
Зам е тим, что из пп. 1 и 3 вытекает, что спички по
крывают те простые грани, 'которые лежат внутри блока.
Поэтому мы получаем следующее условие, двойственное
'{ п. 2:
4) каждая Спичка покрывает п р остые гран" ровно
у двух ячеек. (Такие ячейки мы назовем связанными.)
Заметим еще, что условие п. 3 запрещает нам, в ча
стности, помещать спички на гиперп,,'!оскостях, перпенди
I{УЛЯРПЫХ любой стороне БЛОI<а, длина которой равна 1 .
Поэтому м ы можем по желанию менять размерность N
нашего блока, добавляя или выбрасывая стороны еди
ничной длины в пос,,'!едовательности т, n, . . . , р и не
меняя при этом распо,,'!ожения спичек (с той, разумееТСfJ,
ОГОВОРI<ОЙ, что р а змерность нашеii СШIЧКИ N - 1 меняется
Bl\leCTe с изменением N) .
Перейдем теперь ({ самому доказательству. Предполо
жим, что для некоторого б,,'!ока существует нужное рас
положеНllе спичек. Тогда в силу пп. 2 и 4 У каждой ячей
ки есть ровно две другие ячей(ш, с ней связанные. Ес,,'!и
бы блок состоял только из одного р я да ячеек, то у кон
цевой ячейки могло бы существовать не бо,,'!ее одной
ячейки с ней связанной. ПОЭТОМУ, чтобы существовало
нужное расположение спичек, блок должен иметь эффеJ{
тивную размерность (то есть размерность, которая по
лучается после уда,,'!ешlЯ всех сторон единичной длины)
не ниже 2.
Да,,'Jее, начав с произвольноii ячейки, перейдем к од
ной из ячеек, с ней связанной. «Попав» В ЭТУ новую
ячеЙI{У, мы переходим 1\ с,,'!едующей (единственной ) , свя
занной с ней ячейке, отл и чной от той, из которой м ы
вышли. Тем самым определяется путь, составленный из
ячеек. Поскольку же ч и сло ячеек конечно, а ({аждая из
ячеек связана ровно с двумя другими ячейка м и, м ы в
конце пути вернемся в ту самую ячейку, с которой на
чали наше движение. Назовем такой замкнутый путь
обходом . Заметим , что при каждом обходе между ячей
ка1\Ш, спичками и шага м и устанавливается взаимно-одно
значное соответствие, при котором каждая ячейка соот
ветствует спичке, пересекая которую, м ы входим в дан
ную ячейку; каждый шаг соответствует спичке, пересекая
231
