Page 226 - 1975_matematika-izium

причем равенство достигается в том и толыю В том С_'1У4
час, когда заданная точка совпадает с Q.
Прежде всего заметим, что
а IY� = a Y� = азу�;
2
общее значение этих величин обозначи'\1 М2.
Далее,
x1al + Х:Р2 + Х з Qз = Yla\ + У:Р2 + У1Qз = 2S,
где S - площадь треугольюша. Тогда
' +
2S = a lYI + а2У2 + аз!lз = л,f 2 (-'- + - - ' ) .
У. У2 Уз
Точно так же
2S = М ("го: + -V а2 + -V аз ),
откуда 2
_1

_' + _1 + = (--/"0; + -va; + .уа;)

У. У2 Уз 2s •
Отсюда следует, что
_1_(_

_ _1 + ' + _ ' )
_1 +
' +
Х, Х2 ХЗ У, У2 Уз =
Х2ХЗ + ХЗХ, + Х'Х2 (-va; + -va; + ,..;а; 2
Х'Х2ХЗ 2 S
- (а,х,+а2Х2+азхз) (Х2ХЗ+ХЗХ,+Х,Х2)-(--/Q;" + --/а; + --/ ;:;;)2 Х'Х2ХЗ
2х.х2хз S
Числитель этой дроби равен
+
+
)
a l x ( x2 Хз) + а2хНхз + X1) аЗХНХ1 + Х2 ­
�
- 2 (G:Pз + азаl + a1a;l) хIх2хз =
= Х 1 (-V�X2 - �Uз ХзУ + Х2(-VазХз - -Va. XIY +
+ Хз (-V аl Х\ - -Vll:г Х2 ) 2 � .
о
Равенство достигается только в том случае, когда
-v аl ХI = -vёi;.x2 = -Vазхз,
то есть когда