Page 225 - 1975_matematika-izium

Приравнивая первые две сумм ы , находим, что
а з + Ь а = а l + bl и Ь а - 1 = а ! - а з,
Ь
приравнивая две вторые суммы, находим, что
Ь
bl + C1 = Ь э + СЗ и CI - Са = З - bl•
СJIедовательно,
al - а з = CI - СЗ И al + сз = а 1 - C1•
ПрибаВJIЯЯ [{ обеим частям данного равенства Ь , мы И
2
ПОJIучаем требуемое утверждение. Это свойство не рас­
пространяется на квадраты 4Х4. Чтобы в этом убедиться,
рассмотрим два таких квадрата:

о о о о 1 О 1 О
о о о о О О О О
о о 1 О 1 О 1 О
О О О О О О О О
При мер первого квадрата показывает, что если сумм ы
т
подквадратов 3 Х 3 р а в н ы между собой, о тем н е менее
су м ы диагоналей не обязаны совпадать. Второй пример
м
показывает, что суммы диагоналей не обязаны совпа­
дать даже в том случае, если все суммы подквадратов
2Х2 равны между собой.
[3. У с и с к и н , М. М., 45, 1 0 7 (February 1 9 72) .]
346. Мы покажем, что неравенство
1 + 1 + 1 2 3
Х. (Х2 Хз ::?' г '
вообще говоря, не верно*. В самом деле, пусть Q внут­
ренняя точка данного треугольника, такая, что расстоя­
ния YI , У2, УЗ от нее до сторон треУГОЛЬНllка удовлетво­
ряют соотношениям
1]1 = "I/ёi; !/ з -va;
-;; "I/al ' - = -- "I/ёi; ,
Y I
2
где а" а2, аз - стороны треугольника А.А Аз (таJ{ая ТО'14
ка, очевидно, ровно одна) . Мы IIокажем, что
:, + : 2 + :3 � �, :2 :3 ·
+
+
228