Page 238 - 1975_matematika-izium

а эта величина принимает МIПШl\lальное значение, когда
cos О максимален.
Если м н огоугольннк пересекает данную сторону квад­
р ата, то 1 должно быть меныре cos О. ПОСКОЛЬКУ число
сторон м н огоугольника кратно 4, ситуация одинакова по
отношеНJlЮ ко всем сторонам квадрата. Следовательно,
центр МНОГОУГОЛЬНИI<а должен находиться не дальше чем
на cos е от одной ИЗ сторон квадрата. Вероятность такого
события равна
1 6 cos B - 4 cos 2 В ( 1 )
16
Данная величина представляет собои отношение площа­
ди той области, в которой может находиться центр мно­
гоугольника, пересекающего квадрат, к площади всегО
квадрата.
Далее очевидно, что О ::::;; е и о ::::;; 'Л/4n. Следователь­
но, вероятность того, что на ш угол окажется в бесконеч-
110 малом интервале между каким-то е и е + de, равна
--
d B
4n
n (2)
Вероятность того, что наш многоугольник пересечет квад­
рат и при этом угол О OI{ажется в нужном интервале,
равна произведению ( 1 ) и (2) . Искомая вероятность по­
пучится теперь интегрированием по всем значениям е,
то есть окажется равной
n/4"
4n ( (cos е - .!.. COs2 е) de = � sin � - � sin � - ..!.. .
n j 4 n 4n 411: 2n 8
о
[ 1\. I\ е с с е л , А . М. М., 71, 8 1 (January 1 9 70) . )
361 . 3амеТИII.f, что
1 ) если 2а делит рn - 1 . то а ::::;; 4, поскольку 25 + I
не равпо степени простого числа;
b
2) если q делит р n - I (q - нечетное ПРОстое) , то
2
q = 2h - 1 н, более того, Ь = 1 , поскольку q + 1 четно
и содержит по крайней мере петривиальный делитель
(а значит, не может быть степенью простого числ а ) ;
3 ) если q и r оба имеют вид 2't - 1 , то они не могут
одновременно делить рn - 1 , так как число qr + 1 четно
11 обладает по крайней мере ОДНIIМ неТРИDиальны м дели­
телем (а значит, не совпадает со степенью простого
числ а ) ;

241