Page 256 - 1975_matematika-izium

Наш способ состоит в том, что м ы сначала н а ходим
все решения, удовлетворяющие ( 1 ) , (2) и (3) , а затем
выбрасываем те из них, которые не согласуются с (4).
Детально уравнение а2 + с2 = 2Ь2 (а > Ь > с) оБСУЖ4
дается в I<ииге Диксона «История теории чисел» 1. Мы
же здесь приводим простой вывод п а раметрического ре­
шения.
Д.'Iя того чтобы найти целые числа, удовлетворяющие
условию (2) , мы рассмотрим уравнение
( � с у ( ;-с у = Ь2 ,
+ а
а

которое можно истолковать как соотношение м е жду це4-
лыми сторонами прямоугольного треУГОЛЬНlIка, и ВОЗЬ4
мем два семейства таlШХ треугольников ( п римитивные
пифагоровы триплеты) , стороны которых выражаются
взаимно простыми целыми ч и слами, а именно
с
с
а � = и2 _ v2; а -; = 2uv; Ь = и2 + V2

И a � c = 2 llV; а -; с = U2 _ V2; b = U2 + V2,

где u > v - взаИI\!НО п р остые положительные ч и сла раз..­
ной четности. З а метим, что из соотношения а2 + с2 = 2Ь2
следует, что ч и сла а и с обязаны обладать одинаковой
с
а + с
четностью, а числа - - и а - - 2 - - не обязаны.
2
Решая эти две системы, м ы н а ходим выражение це4
лых чисел а, Ь и с, удовлетворяющих соотношению
а2 .т _ с2 = 2Ь2, через U и V:
{ а = 2uv + и - v?
2
b = U 2 + V2
2
С = ± (и - v2 - 2uv).
в этом общем решении мы должны выбирать такой знак,
чтобы число с оказалось положительным. З а метим таl{же,
что для величины а + ь + с мы получаем в зависимости

1 D i с k s о п, History of the Theory of Numbcrs, N. G., 1 1 , 1952,
435.
259