Page 272 - 1975_matematika-izium
P. 272
Дllфференцируя, находим
[' (т) = О,37 1п3 m-( I ,37 In 2+0,37) In!m+(ln2 2+2 1п 2) 'П т-Уп! 2
;;;.
In2 т . In2 .!!:
2
т
� О,37 1п2 - 1 , 33 1п т + 1,38
:?' т > О .
In m · l n2-
2
11, следовате.'lbIlО, функция {(m) возрастает. Поскольку
20 - 12,6
f (20) = 2 996 2 303 > 1 ,
,
,
(
при т ;;;;. 20 разность n т - n ( ; ) ( а это и есть искомое чис.'lо
)
т
раз.'IIIЧНЫХ простых между In 11 2) > 1 11, значат, равна по край-
ней мере двум. Чтобы доказать наше утверждеНllе полностью. ос·
тается провернть его Д.'IЯ т < 20. Непосредственно подсчитывая
т
ЧIIСЛО простых � т н > 2"' находим, что оно равно 1 для т =
= 2, 4, 6 и 10. Первое отвечает решению 1 1 21 = 2!, последнее
решению 5! 6! = IO!, а два другие новых решений не дают. (Дока
затеJIЬСТВО выделенного утверждения мне сообщил Н. и. Фельд
ман.)
70. Пусть некоторое число N оканчивается цпфрой х, то есть
имеет вид IOk + х. Тогда
N2 = l00k2 + 20kx + х2•
11 поэтому цифра его десятков получается от сложения десятков в
х2 И десятков в 2Okx. Последнее с.,агаемое дает четное ЧllСЛО десят
ков, а потому четность ЧИС.'1а десятков, то есть четность предпослед
ней цифры в N 2 та же, что и четность числа десятков в х2• Непо
средственной проверкой убеждаемся, что квадраты всех нечетных х
содержат четное число десятков.
Далее, в решении задачи 81 предпосдедняя Цllфра в некотором
чнсле N 2 оказывается нечетной. Тогда число десятков в х2 также
должно быть нечетньщ, а это бывает только у 16 и 36, откуда и
деJIается заКЛlOчеНllе, что последняя цифра есть 6.
71. Мне не удалось доказать, что описаиная процедура действи
тельно дает максимальное чис.'10 кусков.
77. Из этого рассуждення не видно, почему нельзя тем же спо
собом опреде.'1НТЬ температуру в l(акоЙ·нибудь точке листа, отлич
ной от центра. На самом деде оно позволяет сделать TO.�ЬKO сле
дующий вывод: среднее аРlIфметическое температур, измеренных в
четырех точках, ПО.'1учаЮЩIfХСЯ друг из друга при повороте квадрата
на угол 900 относите.'1Ьно центра, будет равно 250. Покажем это,
пояснив заодно и прнведенное aDTopOM решение, оставаясь сначала
на фllЗИЧеском уровне строгости.
Разобьем Iшадратный лист на столь MaJIble одинаковые эле·
1I1eHTbl, что в пределах одного 113 ннх температуру можно считать
10" 275