Page 272 - 1975_matematika-izium
P. 272

Дllфференцируя,  находим
      [' (т) =  О,37 1п3 m-( I ,37 In 2+0,37) In!m+(ln2 2+2 1п 2) 'П т-Уп! 2
                                                             ;;;.
                               In2 т . In2 .!!:
                                        2
                            т
                   �  О,37 1п2  - 1 , 33 1п т + 1,38
                   :?'              т        >  О  .
                             In m  · l n2-
                                    2
      11,  следовате.'lbIlО,  функция {(m)  возрастает.  Поскольку
                               20   -  12,6
                       f (20) =   2 996   2 303   >  1 ,
                               ,
                                      ,
                           (
      при  т ;;;;. 20  разность  n  т - n (  ; )   ( а   это  и  есть  искомое  чис.'lо
                             )
                                  т
      раз.'IIIЧНЫХ  простых  между  In  11  2)  >  1   11,  значат,  равна  по  край-
      ней  мере  двум.  Чтобы  доказать  наше  утверждеНllе  полностью.  ос·
      тается  провернть  его  Д.'IЯ  т  < 20.  Непосредственно   подсчитывая
                             т
      ЧIIСЛО  простых  � т  н  >  2"'  находим,  что  оно  равно  1  для  т  =
       =  2,  4,  6  и  10.  Первое  отвечает  решению  1 1  21  =  2!,  последнее ­
      решению  5!  6!  =  IO!,  а  два  другие  новых  решений  не  дают.  (Дока­
      затеJIЬСТВО  выделенного  утверждения  мне  сообщил  Н.  и.  Фельд­
      ман.)
          70.  Пусть  некоторое  число  N  оканчивается  цпфрой  х,  то  есть
      имеет  вид  IOk + х.  Тогда
                        N2  =  l00k2 + 20kx + х2•
      11  поэтому  цифра  его  десятков  получается  от  сложения  десятков  в
      х2  И  десятков  в  2Okx.  Последнее  с.,агаемое  дает  четное  ЧllСЛО  десят­
      ков,  а  потому  четность  ЧИС.'1а  десятков,  то  есть  четность  предпослед­
      ней  цифры  в  N 2  та  же,  что  и  четность  числа  десятков  в  х2•  Непо­
      средственной  проверкой  убеждаемся,  что  квадраты  всех  нечетных  х
      содержат четное  число десятков.
          Далее,  в  решении  задачи  81  предпосдедняя  Цllфра  в  некотором
      чнсле  N 2  оказывается  нечетной.  Тогда  число  десятков  в  х2  также
      должно  быть  нечетньщ,  а  это  бывает  только  у  16  и  36,  откуда  и
      деJIается  заКЛlOчеНllе,  что  последняя  цифра  есть  6.
          71.  Мне  не  удалось  доказать,  что  описаиная  процедура  действи­
      тельно  дает  максимальное чис.'10 кусков.
          77.  Из  этого  рассуждення  не  видно,  почему  нельзя  тем  же  спо­
      собом  опреде.'1НТЬ  температуру  в  l(акоЙ·нибудь  точке  листа,  отлич­
      ной  от  центра.  На  самом  деде  оно  позволяет  сделать  TO.�ЬKO  сле­
      дующий  вывод:  среднее  аРlIфметическое  температур,  измеренных  в
      четырех точках,  ПО.'1учаЮЩIfХСЯ  друг  из  друга  при  повороте  квадрата
      на  угол  900  относите.'1Ьно  центра,  будет  равно  250.  Покажем  это,
      пояснив  заодно  и  прнведенное  aDTopOM  решение,  оставаясь  сначала
      на  фllЗИЧеском  уровне  строгости.
          Разобьем  Iшадратный  лист  на  столь  MaJIble  одинаковые  эле·
      1I1eHTbl,  что  в  пределах  одного  113  ннх  температуру  можно  считать
         10"                                               275
   267   268   269   270   271   272   273   274   275   276   277