Page 277 - 1975_matematika-izium

ворилось, например, о 7561 - числе, меньшем данного н взаимно
npocToM с ним, хотя на все наши предыдущие рассуждеиия это нн­
как бы не повлияло.
. , 8986
Поэтому МЫ должны провернть, что среди чисел 1, 2, • .
действительно ровио 7560 взаимно просто с 8987. Легче СОСЧ\lтать
наоборот, сколько среди этих чисел имеют с 8987 = 1 1 • 19 · 4 3 06-
ЩIIЙ деmlтель. Это будут;
, (43 · 1 9 - 1 ) · 1 1 - всего 43 · 1 9 - 1 = 816 чисел;
1 1 , 22, • • •
1 9 ,38 • • • • • (43 . 1 1 - 1 ) · 19 - всего 43 · 1 \ - 1 = 472 числа;
43,86, " " ( 1 1 · 1 9 - 1 ) . 4 3 - Bcero 1 1 · 1 9 - 1 = 2 08 чисе.7J.

в этом перечне по два раза встреТIJ.'IIСЬ:
1 1 · 19, 2 . 1 \ · 19, . . . . 42 · 1 1 · 1 9 - 4 2 чнсла;
1 1 · 4 3. 2 · 1 1 · 4 3 . . . . , 18 · 1 1 · 43 - 1 8 чисел;
19 . 43. 2 · 1 9 · 4 3, . . . . 10 · 19 · 4 3 - 1 0 чисел.

Итого чисел, меНЬШIIХ 8987 и взанмно простых С ним: 8986 -
'--816 - 472 - 208 + 42 + 18 + 10 = 8986 - 1496 + 70 = 7560.
Значит. 8987 удов. '1етворяет всем условиям задачи.
Для N = 19 · 19 · 4 3 аналогичный подсчет дает 14 З83 числа.
154. Это рассуждение некорректно. ПОСКО.'IЬКУ ниоткуда не сле-
дует. что эта процедура не будет продолжаться бесконечно. На ка­
ждо'l! шагу число слагаеМЫХ растет, может возрастать и число рав­
ных среди пих.

8

Рис. 5. '
.r...;;;;� - - - .......... _ - - � C
A
к
Р
155. В самом деле, если внутренняя точка , а основаНИЯ пер­
nендикуляров на сторонах АВ, ВС, СА обозначены соответственно
Е. Н, 1( (рис. 5), то
А I(2 + ВЕ2 + СН2 = А Р2 _ РI(2 + ВР2 _ РЕ2 + СР2 - Р Н 2 =
= АЕ 2 + ЕР 2 _ Р К2 + ВН2 + Н Р2 - РЕ 2 + СК2 + I( Р2 - РН2 =
= АЕ 2 + Н2 + Сl(2 .
В
280